数字 - セッション 6

ユニバーサルセット部分集合空集合

数学において、普遍集合とは、問題に含まれる最大の集合を意味する。そこには、私たちがその時点で学習しているすべての項目が含まれています私たちが作るより小さなセットはすべて、この普遍的なセットから派生したものでなければならない。私たちが話しているすべてのものが入った大きな箱を想像してみてくださいそして、その箱の中から小さなグループを取り出すことができるのです。全体集合は通常、文字「U」で表されます。

Mathematics - Universal Set, Subset, Empty Set

例えば、1から10までの数字を扱う場合、全体集合とは1から10までのすべての数字の集合のことです。この主要グループから、より小さなグループを形成することができます。もう一つの小さなグループは、1から10までの偶数、つまり2、4、6、8、10である。もう一つの小さなグループは、1から10までの奇数、つまり1、3、5、7、9である。これら二つの小さなグループは、いずれも1から10までの数字から成り立っているため、普遍的な集合の一部である。

図形を研究する場合、普遍集合には、円、正方形、三角形、長方形など、私たちが注目しているすべての図形が含まれる可能性があります。この全体集合から、より小さなグループを作成することができる。一つのグループとしては、正方形、長方形、三角形のように直線的な辺を持つ図形が挙げられるだろう。別のグループとしては、円のように曲線的な側面を持つ形状が挙げられるでしょう。

全体集合は非常に大きくなる場合もある。例えば、普遍集合を「すべての生物」と定義するならば、それは人間、動物、植物、樹木を含むことになる。これによって、動物や植物といったより小さなセットを作ることができます。もう一つの非常に大きな例としては、普遍集合はすべての自然数であると言う場合が挙げられますこれは、1から始まり無限に続く数え上げの数を意味します。この集合から、偶数だけ、あるいは奇数だけといった、より小さなグループを作ることができます。

ベン図では、全体集合は大きな長方形で表されます。長方形の内側に、より小さな集合を表す円を描きます。全体集合がクラスの全生徒である場合、1つの円はサッカーが好きな生徒、別の円はクリケットが好きな生徒、そして3つ目の円は水泳が好きな生徒、といったように分けられる。長方形は、どの円にも当てはまらない生徒も含めたクラス全体を表しています。

部分集合とは、より大きな集合から抽出された、より小さな集合のことです。ある集合に含まれるすべての要素が別の集合にも含まれている場合、最初の集合は2番目の集合の部分集合と呼ばれる。これは、部分集合は常に大きなグループの一部であることを示している例えば、全体集合が1から10までの数である場合、1から10までの偶数の集合は全体集合の部分集合となりますなぜなら、これらの数はすべて1から10までの数字だからです。同様に、1から10までの奇数の集合も、全体集合の部分集合である。これら2つの小型セットは、どちらも大型セットの中に完全に収まります。

ベン図を描く場合、部分集合は、ある円が別の円の中に完全に収まっていることで示すことができます。例えば、全体集合がすべての果物であり、より小さな集合がマンゴーやパイナップルなどの熱帯果物である場合、熱帯果物の円はすべての果物の大きな円の中に完全に収まる。これは、小さい方の集合が大きい方の集合の部分集合であることを明確に示している。

数学においてこれを表すには、特別な記号を用います。これを A ⊆ B と書き、A は B の部分集合であると読みます。これは、集合Aのすべての要素が集合Bの要素でもあることを意味します。例えば、Aが2、4、6などの偶数の集合であり、Bが1、2、3、4、5、6の集合である場合、A ⊆ Bと書くことができます。これは、集合Aに含まれるすべての数値が既に集合Bに含まれていることを示しています。集合Aにはすべての奇数が含まれ、集合Bにはすべての素数が含まれていると仮定します。セットBがセットAの部分集合であるかどうかを判断できますか？。

常に覚えておくべき特別なルールが2つあります。まず、すべての集合はそれ自身の一部分である。第二に、空集合は内部に何も含まれていないため、あらゆる集合の部分集合となるしたがって、この規則は決して破られることはない。

集合が別の集合の部分集合ではない場合もある。これは、小さい方の集合に含まれる要素のうち、少なくとも1つが大きい方の集合に含まれていない場合に発生します。言い換えれば、最初の集合の要素のうち1つが2番目の集合に含まれていない場合、最初の集合は部分集合とは呼べない。例えば、集合Aが1、2、3で、集合Bが2、3、4である場合、1は集合Aには含まれているが集合Bには含まれていないため、AはBの部分集合ではない。数学では、部分集合でないものを、部分集合記号に小さな線が引かれたような記号で表します。これを A ⊈ B と表記すると、A は B の部分集合ではないという意味になります。

空集合とは、要素を一つも含まない集合のことである。これはヌル集合とも呼ばれる。これは、グループではあるものの、グループ自体は完全に空であることを意味します。数えるべきものも、リストアップすべきものも、中身も何もない。空集合は記号∅で表します。

例えば、0より小さい整数の集合について考えると、その集合は空集合になります。整数は、0、1、2、3、…です。それらのどれもが0未満ではないため、この集合には要素が全く存在しない。別の例としては、3つの辺を持つ正方形の集合が挙げられる。正方形は必ず4つの辺を持つので、3つの辺を持つ正方形は存在しない。つまり、その集合は空であるということです。

空集合は数学において非常に有用ですなぜなら、答えがない、または存在しないことを示す必要がある場合があるからです object特定の状況下で存在する。例えば、クラスの中で身長が10フィートの生徒の集合を作ろうとすると、身長が10フィートの生徒は存在しないため、その集合は空になります。 8から10までの間の素数の集合を作っても、その範囲には素数が存在しないため、集合は空になります。

空集合と、数ゼロを含む集合を混同してしまうことがある。数ゼロを含む集合は空集合ではありませんなぜなら、数ゼロは実際にはその集合の要素の一つだからです。空集合には要素が全く含まれていない。これは覚えておくべき非常に重要な違いです。

図では、空集合は内部に何も入っていない円として表すことができます。例えば、全体集合が学校の全生徒であるとすると、鳥のように空を飛べる生徒の集合を作ると、その集合は空集合になります。ベン図上では円として表示されますが、その円の中には名前は書かれていませんなぜなら、どの生徒にもその能力がないからです。