数字 - セッション 5

セット表記を設定しますベン図セット内の要素の数

好きな果物やゲームなど、自分の好きなもののリストを作ったことがありますか?。数学では、このようなリストを「set」と呼びます。 setとは、簡単に言うと、まとめた物のグループです。これらはelements of the setと呼ばれます。たとえば、果物のsetを作る場合、リンゴ、マンゴー、バナナなどを含めることができます。つまり、リンゴ、マンゴー、バナナがこのフルーツsetのelementsであるということです。

Mathematics - Set, Set Notation, Venn Diagram, Number Of Elements In A Set

時々、何かがset内にあるかどうかを示したい場合があります。長い文章を書く代わりに、短い形式を使います。ある数がset内にある場合、その数はそのsetに属すると言います。それがset内に存在しない場合は、setに属していないと言います。これにより、私たちの作業がより簡単かつ迅速に理解できるようになります。

セットの書き方は次のようになります。中括弧を使用します。中括弧は小さな曲がった腕のように見えます。中括弧内には、elements of the setをコンマで区切って記述します。たとえば、リンゴ、マンゴー、バナナを含む果物のsetを作りたい場合、図のように中括弧で囲んで記述します。これにより、そのsetに何が属しているかがすぐにわかります。

では、おもちゃの入ったバスケットを持っていると想像してください。バスケットの中にどんなおもちゃが入っているかを友達に伝えたい。長いストーリーを書く代わりに、単に短いリストを作成することもできます。この短い書き方はset表記法と呼ばれます。 setとは単純に物事の集まりであり、set表記法はそのグループを記述する特別な方法です。

たとえば、バスケットに車、ボール、人形が入っているとします。セットAは、車、ボール、人形のグループであると言えます。車、ボール、人形をコンマで区切って中括弧内に書きます。バスケットに 1、2、3 のような数字が入っていた場合は、セット A は 1、2、3 の数字のグループであると言えます。したがって、中括弧内に 1、2、3 をコンマで区切って記述します。

数字を使ったセットも作れます。最初の 3 つの数のsetを作りたい場合、中括弧内に 1、2、3 と記述します。 10 未満の偶数のsetをC で表したい場合は、中括弧内に 2、4、6、8 をコンマで区切って記述します。いかにもすっきりして簡単そうに見えますね。

ここで、setが他のセットとどのように相互作用するかについて説明します。 Venn diagramは、集合をよりよく理解するのに役立つ図です。中括弧で集合を書くだけでなく、集合を描くこともできます。 Venn diagramでは通常、円を描きます。それぞれの円は 1 つのsetを表し、そのset内のものが円の中に書かれています。 2 つの集合に共通点がある場合は、円が重なり合い、重なり合う部分に共通点を書き込みます。

例を試してみましょう。 1 つのsetがリンゴ、マンゴー、バナナを含む果物のsetであるとします。もう一つのsetもバナナ、オレンジ、マンゴーを含むフルーツのsetです。これをVenn diagramで描くと、2つの円ができます。最初の円にはリンゴ、マンゴー、バナナがあります。 2番目の円にはバナナ、オレンジ、マンゴーがあります。マンゴーとバナナは両方のセットに含まれているため、2 つの円が重なる中央に配置する必要があります。リンゴは最初の円の中にのみ留まり、オレンジは 2 番目の円の中にのみ留まります。写真を見ると、それぞれのsetに何が属し、何を共有しているかがはっきりとわかります。

ここで、自然数と素数の集合でこれを試してみましょう。例えば、集合 A は 10 までの自然数であるとします。セットBは15より前の素数です。これら 2 つのセットのベン図を描くと、1、3、5、7 が両方のセットに共通する数字であることがわかります。したがって、両方の円の重なり合う部分に書き込まれます。その他の番号は、それぞれの個別のセクションに記載されます。

2 つの数値の公倍数をベン図の形式で表すこともできます。 2 の倍数は 2、4、6、8、10 だとします。このsetをセットAと呼びましょう。ここで、3 の倍数は 3、6、9 だとします。このsetにはセット B があると言えます。

ここで、セット A とセット B をVenn diagramで表します。次に、両方のセットに共通の倍数があるかどうかを確認しましょう。 6 は両方のセットの公倍数です。両方のベン図の重なり合う部分に6を書きます。残りの数字はそれぞれのベン図に書き込まれます。

ベン図は 3 つのセットを表すこともできます。たとえば、1 つのsetは、2、4、6 などの数字を含む文字 A で表すことができます。もう 1 つのsetは、4、6、8 などの数字を含む文字 B で表されます。 3 番目のsetは、6 や 10 などの数字を含む文字 C で表されます。

重なり合う 3 つの円を描く場合、数字の 6 はすべてのセットに存在するため、3 つの円が交わる中央に配置する必要があります。数字の 4 は、最初の 2 つの円に共通しているため、それらの重なり合う部分に配置する必要があります。数字の 2、8、10 は、それぞれ独自の場所に配置されます。このように、Venn diagramでは、セットがどのように接続されているかが明確にわかります。

どのsetにも中身が入っています。これらはelementsと呼ばれます。 set内のelementsの数は、単にそのset内に何があるかを意味します。私たちは、身の回りの物体を数えるのと同じ方法でそれらを数えます。たとえば、リンゴ、マンゴー、バナナで果物のsetを作る場合、グループには果物が 3 つあるため、elementsの数は 3 になります。 2、4、6、8、10 の数字のsetを作ると、そのグループには 5 つの数字があるので、elementsの数は 5 になります。

さて、これを数学ではどのように表現するのでしょうか?。 set名の前に文字 n を使用しますそこで、私たちはこう書きます n(A) = 3Set-A には 3 つのelementsがあることを示します。私たちは書く n(B) = 5セット B には 5 つのelementsがあることを示します。