संख्याएँ - सत्र 6

गणित में, सार्वभौमिक समुच्चय का अर्थ किसी समस्या में सबसे बड़ा समुच्चय होता है। इसमें वे सभी चीजें शामिल हैं जिनका हम उस समय अध्ययन कर रहे हैंहम जितने भी छोटे सेट बनाते हैं, वे सभी इसी सार्वभौमिक सेट से आने चाहिए। आप इसे एक बड़े बक्से की तरह समझ सकते हैं जिसमें वह सब कुछ है जिसके बारे में हम बात कर रहे हैं, और बक्से के अंदर से हम छोटे-छोटे समूह निकाल सकते हैं। सार्वभौमिक समुच्चय को आमतौर पर अक्षर-U से लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक से दस तक की संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं, तो सार्वभौमिक समुच्चय एक से दस तक की सभी संख्याओं का समूह है। इस मुख्य समूह से हम छोटे-छोटे समूह बना सकते हैं। एक छोटा समूह एक से दस तक की सम संख्याओं का हो सकता है, जो कि दो, चार, छह, आठ और दस हैं। एक और छोटा समूह एक से दस के बीच की विषम संख्याएँ हो सकती हैं, जो कि एक, तीन, पाँच, सात और नौ हैं। ये दोनों छोटे समूह सार्वभौमिक समुच्चय का हिस्सा हैं क्योंकि ये सभी एक से दस तक की संख्याओं से आते हैं।

यदि हम आकृतियों का अध्ययन कर रहे हैं, तो सार्वभौमिक समुच्चय में वे सभी आकृतियाँ शामिल हो सकती हैं जिन्हें हम देख रहे हैं, जैसे कि वृत्त, वर्ग, त्रिभुज और आयत। इस सार्वभौमिक समूह से, हम छोटे-छोटे समूह बना सकते हैं। एक समूह में सीधी भुजाओं वाली आकृतियाँ शामिल हो सकती हैं, जैसे वर्ग, आयत और त्रिभुज। एक अन्य समूह घुमावदार भुजाओं वाली आकृतियाँ हो सकती हैं, जैसे वृत्त।

यूनिवर्सल सेट काफी बड़ा भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम कहते हैं कि सार्वभौमिक समुच्चय सभी जीवित चीजें हैं, तो इसमें मनुष्य, जानवर, पौधे और पेड़ शामिल होंगे। इससे हम जानवरों या पौधों जैसे छोटे-छोटे समूह बना सकते हैं। एक और बहुत बड़ा उदाहरण तब है जब हम कहते हैं कि सार्वभौमिक समुच्चय सभी प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिसका अर्थ है एक से शुरू होने वाली और अनंत तक जारी रहने वाली गिनती की संख्याएँ। इस समूह से, हम छोटे समूह बना सकते हैं जैसे कि सभी सम संख्याएँ या सभी विषम संख्याएँ।

वेन आरेख में, सार्वभौमिक सेट को एक बड़े आयत के रूप में दर्शाया जाता है। आयत के अंदर हम छोटे समूहों के लिए वृत्त बनाते हैं। यदि सार्वभौमिक समूह कक्षा के सभी छात्र हैं, तो एक वृत्त उन छात्रों का हो सकता है जिन्हें फुटबॉल पसंद है, दूसरा वृत्त उन छात्रों का हो सकता है जिन्हें क्रिकेट पसंद है, और तीसरा वृत्त उन छात्रों का हो सकता है जिन्हें तैराकी पसंद है। आयत पूरी कक्षा को दर्शाता है, जिसमें वे छात्र भी शामिल हैं जो किसी भी वृत्त में फिट नहीं होते हैं।

उपसमुच्चय का अर्थ है एक बड़े समुच्चय से प्राप्त एक छोटा समुच्चय। यदि एक समुच्चय में मौजूद प्रत्येक वस्तु दूसरे समुच्चय में भी पाई जाती है, तो पहले समुच्चय को दूसरे समुच्चय का उपसमुच्चय कहा जाता है। इससे यह पता चलता है कि उपसमूह हमेशा एक बड़े समूह का हिस्सा होते हैंउदाहरण के लिए, यदि हमारा सार्वभौमिक समुच्चय एक से दस तक की संख्याएँ हैं, तो एक से दस के बीच की सम संख्याओं का समुच्चय सार्वभौमिक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है, क्योंकि ये सभी संख्याएँ एक से दस के बीच आती हैं। इसी प्रकार, एक से दस के बीच की विषम संख्याओं का समुच्चय भी सार्वभौमिक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है। ये दोनों छोटे सेट बड़े सेट के अंदर पूरी तरह से समा जाते हैं।

जब हम वेन डायग्राम बनाते हैं, तो हम उपसमूहों को एक वृत्त के ठीक अंदर स्थित दूसरे वृत्त के रूप में दर्शा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि सार्वभौमिक समूह सभी फल हैं, और एक छोटा समूह आम और अनानास जैसे उष्णकटिबंधीय फल हैं, तो उष्णकटिबंधीय फलों का वृत्त सभी फलों के बड़े वृत्त के अंदर पूरी तरह से समा जाएगा। इससे स्पष्ट रूप से पता चलता है कि छोटा समुच्चय बड़े समुच्चय का उपसमुच्चय है।

गणित में इसे दर्शाने के लिए हम एक विशेष प्रतीक का उपयोग करते हैं। हम इसे A ⊆ B लिखते हैं और इसे A, B का एक उपसमुच्चय है के रूप में पढ़ते हैं। इसका अर्थ यह है कि समुच्चय-A का प्रत्येक तत्व समुच्चय-B का भी एक तत्व है। उदाहरण के लिए, यदि A सम संख्याओं का समुच्चय है जैसे कि दो, चार और छह, और B एक, दो, तीन, चार, पांच और छह का समुच्चय है, तो हम A ⊆ B लिख सकते हैं। इससे पता चलता है कि सेट-ए में मौजूद सभी संख्याएँ सेट-बी में पहले से ही मौजूद हैं। मान लीजिए कि समुच्चय-A में सभी विषम संख्याएँ हैं, और समुच्चय-B में सभी अभाज्य संख्याएँ हैं। क्या आप बता सकते हैं कि समुच्चय-B, समुच्चय-A का उपसमुच्चय है या नहीं?।

दो विशेष नियम हैं जिन्हें आपको हमेशा याद रखना चाहिए। पहली बात, प्रत्येक समुच्चय स्वयं का एक उपसमुच्चय होता है। दूसरा, रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, क्योंकि उसमें कुछ भी नहीं होता, इसलिए यह नियम कभी नहीं टूटता।

कभी-कभी, एक समुच्चय दूसरे समुच्चय का उपसमुच्चय नहीं होता है। ऐसा तब होता है जब छोटे समूह में कम से कम एक तत्व बड़े समूह का हिस्सा नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, यदि पहले समूह का एक आइटम दूसरे समूह में मौजूद नहीं है, तो पहले समूह को उपसमूह नहीं कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि समुच्चय-A में एक, दो और तीन हैं, और समुच्चय-B में दो, तीन और चार हैं, तो A, B का उपसमुच्चय नहीं है, क्योंकि संख्या एक समुच्चय-A में है लेकिन समुच्चय-B में नहीं है। गणित में, हम किसी उपसमुच्चय को उस प्रतीक का उपयोग करके व्यक्त नहीं करते हैं जो एक उपसमुच्चय चिह्न जैसा दिखता है जिसके बीच में एक छोटी रेखा खींची होती है। हम इसे A ⊈ B लिखते हैं, जिसका अर्थ है कि A, B का उपसमुच्चय नहीं है।

एक रिक्त समुच्चय वह समुच्चय होता है जिसमें कोई तत्व नहीं होता है। इसे नल सेट भी कहा जाता है। इसका मतलब है कि यह एक समूह है, लेकिन समूह पूरी तरह से खाली है। गिनने के लिए कुछ नहीं है, सूची बनाने के लिए कुछ नहीं है, और अंदर कुछ भी नहीं है। हम रिक्त समुच्चय को प्रतीक ∅ द्वारा दर्शाते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हम शून्य से कम पूर्ण संख्याओं के समुच्चय की बात करें, तो वह समुच्चय खाली होगा। पूर्ण संख्याएँ शून्य, एक, दो, तीन, इत्यादि होती हैं। चूंकि इनमें से कोई भी शून्य से कम नहीं है, इसलिए इस समुच्चय में कोई सदस्य नहीं है। इसका एक और उदाहरण तीन भुजाओं वाले वर्गों का समूह है। एक वर्ग में हमेशा चार भुजाएँ होती हैं, इसलिए तीन भुजाओं वाला वर्ग कभी नहीं हो सकता। इसका मतलब है कि सेट खाली है।

गणित में रिक्त समुच्चय बहुत उपयोगी होता है क्योंकि कभी-कभी हम यह दर्शाना चाहते हैं कि कोई उत्तर नहीं है या कोई objectकिसी दी गई स्थिति में मौजूद होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम कक्षा में दस फीट लंबे छात्रों का एक समूह बनाते हैं, तो वह समूह खाली होगा क्योंकि दस फीट लंबा कोई छात्र नहीं है। यदि हम आठ और दस के बीच अभाज्य संख्याओं का एक समुच्चय बनाते हैं, तो वह समुच्चय भी खाली होगा, क्योंकि उस सीमा में कोई अभाज्य संख्या नहीं है।

कभी-कभी, हम एक खाली समुच्चय और एक ऐसे समुच्चय के बीच भ्रमित हो सकते हैं जिसमें शून्य संख्या मौजूद हो। जिस समुच्चय में शून्य संख्या शामिल होती है, वह समुच्चय खाली नहीं होता, क्योंकि शून्य वास्तव में उस समुच्चय का एक तत्व होता है। एक खाली समुच्चय में कोई तत्व नहीं होते हैं। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण अंतर है जिसे याद रखना आवश्यक है।

आरेखों में, हम रिक्त समुच्चय को एक ऐसे वृत्त के रूप में दर्शा सकते हैं जिसके अंदर कुछ भी नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि सार्वभौमिक समुच्चय किसी विद्यालय के सभी छात्र हैं, और हम ऐसे छात्रों का एक समुच्चय बनाते हैं जो पक्षियों की तरह उड़ सकते हैं, तो वह समुच्चय खाली होगा। वेन डायग्राम पर, यह एक वृत्त के रूप में दिखाई देगा, लेकिन वृत्त के अंदर कोई नाम नहीं होगा क्योंकि किसी भी छात्र में वह क्षमता नहीं है।