संख्याएँ - सत्र 5

क्या आपने कभी अपनी पसंदीदा चीजों की सूची बनाई है, जैसे कि आपके पसंदीदा फल या खेल?। गणित में, हम ऐसी सूची को set कहते हैं। set का मतलब बस चीजों का एक समूह है जिसे हम एक साथ रखते हैं। इन चीजों को elements of the set कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम फलों का एक set बनाते हैं, तो उसमें एक सेब, एक आम और एक केला शामिल हो सकते हैं। इसका मतलब है कि सेब, आम और केला इस फल set के elements हैं।

कभी-कभी हम यह बताना चाहते हैं कि कोई वस्तु किसी set के अंदर है या नहीं। लंबे वाक्य लिखने के बजाय, हम संक्षिप्त रूपों का उपयोग करते हैं। यदि कोई संख्या किसी set में है, तो हम कहते हैं कि वह set से संबंधित है। यदि यह set में नहीं है, तो हम कहते हैं कि यह set से संबंधित नहीं है। इससे हमारा काम समझना आसान और तेज़ हो जाता है।

सेट लिखने का तरीका इस प्रकार है। हम कर्ली ब्रैकेट का उपयोग करते हैं। कर्ली ब्रैकेट छोटी घुमावदार भुजाओं की तरह दिखते हैं। घुंघराले कोष्ठकों के अंदर, हम अल्पविरामों से अलग करके elements of the set को लिखते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम फलों का एक set बनाना चाहते हैं जिसमें सेब, आम और केला शामिल हों, तो हम इसे चित्र में दिखाए अनुसार घुंघराले कोष्ठकों के अंदर लिखते हैं। इससे हमें बहुत जल्दी पता चल जाता है कि कौन सी चीजें उस set से संबंधित हैं।

अब कल्पना कीजिए कि आपके पास खिलौनों से भरी एक टोकरी है। आप अपने दोस्त को बताना चाहते हैं कि टोकरी के अंदर कौन-कौन से खिलौने हैं। लंबी कहानी लिखने के बजाय, आप बस एक छोटी सूची बना सकते हैं। लिखने के इस संक्षिप्त तरीके को set नोटेशन कहा जाता है। set बस चीजों का एक समूह है, और set नोटेशन उस समूह को लिखने का एक विशेष तरीका है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपकी टोकरी में एक कार, एक गेंद और एक गुड़िया है। हम कह सकते हैं कि सेट-ए कार, गेंद और गुड़िया का समूह है। हम कार, गेंद और गुड़िया को अल्पविराम से अलग करके घुंघराले कोष्ठकों के अंदर लिखेंगे। अगर आपकी टोकरी में एक, दो और तीन जैसी संख्याएँ होतीं, तो हम कहते कि सेट-ए संख्याओं का समूह एक, दो और तीन है। इसलिए, हम एक, दो और तीन को अल्पविराम से अलग करके घुंघराले कोष्ठकों के अंदर लिखेंगे।

हम संख्याओं के साथ भी सेट बना सकते हैं। यदि हम पहले तीन गिनती संख्याओं का एक set बनाना चाहते हैं, तो हम इसे घुंघराले कोष्ठक के अंदर एक, दो, तीन के रूप में लिखते हैं। यदि हम C द्वारा दर्शाए गए दस से कम सम संख्याओं का एक set बनाना चाहते हैं, तो हम इसे अल्पविराम से अलग करके दो, चार, छह और आठ के रूप में घुंघराले कोष्ठक के अंदर लिखते हैं। देखिए यह कितना साफ-सुथरा और आसान दिखता है।

अब आइए बात करते हैं कि एक set दूसरे सेट के साथ कैसे परस्पर क्रिया कर सकता है। Venn diagram एक ऐसी आकृति है जो हमें सेट को बेहतर ढंग से समझने में मदद करती है। केवल कर्ली ब्रैकेट के साथ सेट लिखने के बजाय, हम उन्हें बना भी सकते हैं। Venn diagram में, हम आमतौर पर वृत्त बनाते हैं। प्रत्येक वृत्त एक set का प्रतिनिधित्व करता है, और उस set के भीतर की चीजें वृत्त के अंदर लिखी होती हैं। यदि दो सेटों में कुछ चीजें समान हों, तो वृत्त एक दूसरे को ओवरलैप करते हैं, और हम ओवरलैप वाले हिस्से में समान चीजों को लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण से समझते हैं। मान लीजिए कि एक set में सेब, आम और केला सहित फलों का set शामिल है। एक अन्य set में केला, संतरा और आम सहित फलों का set भी शामिल है। यदि हम इसे Venn diagram के रूप में बनाएं, तो हमें दो वृत्त मिलेंगे। पहले वृत्त में सेब, आम और केला हैं। दूसरे वृत्त में केला, संतरा और आम हैं। अब, आम और केला दोनों सेटों में मौजूद हैं, इसलिए उन्हें बीच में, जहाँ दोनों वृत्त एक दूसरे को ओवरलैप करते हैं, वहाँ रखा जाना चाहिए। सेब केवल पहले वृत्त में रहता है, और संतरा केवल दूसरे वृत्त में रहता है। तस्वीर को देखकर हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि प्रत्येक set में क्या-क्या शामिल है और उनमें क्या-क्या समानताएं हैं।

अब आइए इसे प्राकृतिक संख्याओं और अभाज्य संख्याओं के समुच्चय के साथ आजमाते हैं। मान लीजिए, समुच्चय-A में दस तक की प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं। सेट-बी में 15 से पहले की अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं। यदि आप इन दोनों सेटों का वेन डायग्राम बनाते हैं, तो आप देखेंगे कि एक, तीन, पांच और सात दोनों सेटों में उभयनिष्ठ संख्याएँ हैं। इसलिए, उन्हें दोनों वृत्तों के अतिव्यापी भाग में लिखा जाएगा। अन्य संख्याएँ अपने-अपने संबंधित अनुभागों में होंगी।

आप दो संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणजों को वेन आरेख के रूप में भी दर्शा सकते हैं। मान लीजिए, दो के गुणज दो, चार, छह, आठ और दस हैं। आइए इस set को सेट-ए कहते हैं। अब मान लीजिए, तीन के गुणज तीन, छह और नौ हैं। हम इस set को सेट-बी कह सकते हैं।

अब सेट-ए और सेट-बी को Venn diagram में दर्शाइए। अब आइए पता लगाते हैं कि क्या दोनों समुच्चयों में कोई उभयनिष्ठ गुणज है। दोनों सेटों में छह एक उभयनिष्ठ गुणज है। हम दोनों वेन आरेखों के अतिव्यापी भाग में छह लिखेंगे। शेष संख्याओं को उनके संबंधित वेन आरेखों में लिखा गया है।

वेन डायग्राम तीन सेटों को भी दर्शा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक set को अक्षर-ए द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसमें दो, चार और छह जैसी संख्याएँ शामिल हैं। एक अन्य set को अक्षर-बी द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें चार, छह और आठ जैसी संख्याएँ शामिल होती हैं। तीसरे set को अक्षर-सी द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें छह और दस जैसी संख्याएँ शामिल होती हैं।

यदि हम तीन ऐसे वृत्त खींचते हैं जो एक दूसरे को अतिव्यापी करते हैं, तो संख्या छह को उन तीनों वृत्तों के मिलने के मध्य बिंदु पर रखा जाना चाहिए, क्योंकि यह सभी समुच्चयों में मौजूद है। पहले दो वृत्तों के बीच के आच्छादित भाग में संख्या चार को रखा जाना चाहिए, क्योंकि यह दोनों में उभयनिष्ठ है। दो, आठ और दस संख्याओं को उनके अपने-अपने स्थानों पर रखा जाएगा। इस तरह, Venn diagram हमें यह स्पष्ट रूप से समझने में मदद करता है कि सेट आपस में कैसे जुड़े हुए हैं।

हर set में कुछ न कुछ सामान होता है। इन चीजों को elements कहा जाता है। किसी set में elements की संख्या का सीधा सा मतलब है कि उस set में कितनी वस्तुएँ हैं। हम उन्हें उसी तरह गिनते हैं जैसे हम अपने आसपास की वस्तुओं को गिनते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम सेब, आम और केले से फलों का एक set बनाते हैं, तो elements की संख्या तीन होगी क्योंकि समूह में तीन फल हैं। यदि हम दो, चार, छह, आठ और दस को मिलाकर संख्याओं का एक set बनाते हैं, तो समूह में पाँच संख्याएँ होने के कारण elements की संख्या पाँच होती है।

अब, हम इसे गणित में कैसे दर्शाएंगे?। हम set के नाम के आगे अक्षर 'n' का प्रयोग करते हैंतो, हम लिखते हैं n(A) = 3यह इंगित करने के लिए कि सेट-ए में तीन elements हैं। हम लिखते हैं n(B) = 5यह इंगित करने के लिए कि सेट बी में पाँच elements हैं।