संख्याएँ - सत्र 4

क्या आप जानते हैं कि कुछ ऐसी संख्याएँ भी होती हैं जो कभी समाप्त नहीं होतीं और न ही कोई पैटर्न बनाती हैं, चाहे आप उनके अंकों को कितनी भी दूर तक गिनते रहें?। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें हम साधारण भिन्न के रूप में नहीं लिख सकते, जैसे दो बटे पाँच या सात बटे आठ। दूसरे शब्दों में, आप उन्हें p/q के रूप में नहीं लिख सकते, जहाँ p और q पूर्ण संख्याएँ हैं और q शून्य नहीं है। उनका दशमलव रूप बिना किसी निश्चित पैटर्न को दोहराए अनंत काल तक चलता रहता है। उदाहरण के लिए, दो का वर्गमूल लगभग एक दशमलव चार एक चार होता है, लेकिन अंक बिना किसी चक्र में दोहराए लगातार चलते रहते हैं। यह अपरिमेय संख्याओं को परिमेय संख्याओं से अलग बनाता है, जो दशमलव में या तो रुक सकती हैं या दोहराई जा सकती हैं।

अपरिमेय संख्याओं को समझने का एक आसान तरीका यह है कि उनकी तुलना परिमेय संख्याओं से की जाए। परिमेय संख्याओं में एक बटे दो जैसी भिन्नें शामिल होती हैं, जो शून्य दशमलव पाँच होती हैं, या एक बटे तीन जैसी भिन्नें, जो शून्य दशमलव तीन तीन तीन होती हैं और अनंत तक दोहराती रहती हैं। अपरिमेय संख्याएँ इस मायने में भिन्न होती हैं कि उनका दशमलव भाग कभी समाप्त नहीं होता और कभी दोहराया नहीं जाता। उदाहरण के लिए, तीन का वर्गमूल एक दशमलव सात तीन दो शून्य पांच से शुरू होता है और अनंत तक चलता रहता है।

एक और बहुत प्रसिद्ध अपरिमेय संख्या पाई है, जिसका उपयोग वृत्तों से संबंधित लगभग हर गणना में किया जाता है। पाई की शुरुआत तीन दशमलव एक चार एक पांच से होती है, लेकिन इसके अंक कभी रुकते या दोहराए नहीं जाते। गणितज्ञों ने पाई के अरबों अंकों की गणना की है, फिर भी यह बिना किसी पैटर्न के आगे बढ़ता रहता है।

एक संख्या 'ई' भी है, जो '2718' से शुरू होती है। यह संख्या गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में दिखाई देती है, विशेष रूप से वृद्धि और क्षय से संबंधित समस्याओं में, जैसे जनसंख्या वृद्धि या चक्रवृद्धि ब्याज। गणित के त्रिकोणमिति क्षेत्र में, कुछ मानों को दशमलव के रूप में लिखने पर अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए, पैंतालीस डिग्री का साइन अपरिमेय है और इसे एक साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है.

व्युत्क्रम किसी संख्या का उल्टा रूप होता है। किसी संख्या का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए, उसके अंश और हर को आपस में बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, दो बटे तीन का व्युत्क्रम तीन बटे दो होता है। पूर्ण संख्याओं के लिए, आप उन्हें एक के हर वाली संख्या के रूप में मान सकते हैं। अतः, पाँच का व्युत्क्रम एक बटा पाँच होता है। क्या आप छह/सात का व्युत्क्रम बता सकते हैं?।

व्युत्क्रमों को बेहतर ढंग से समझने के लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं। एक बटे चार का व्युत्क्रम चार बटे एक होता है, जो कि केवल चार ही होता है। आठ का व्युत्क्रम एक बटा आठ होता है। -3/7 का व्युत्क्रम -7/3 होता है। शून्य दशमलव पाँच का व्युत्क्रम, जो कि एक बटे दो है, दो है।

दशमलव संख्याओं को भिन्नों में बदलने पर उनके व्युत्क्रम भी प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, शून्य दशमलव दो पाँच का व्युत्क्रम चार है क्योंकि शून्य दशमलव दो पाँच एक बटा चार होता है और इसे पलटने पर चार बटा एक प्राप्त होता है। एक दशमलव पाँच का व्युत्क्रम दो बटे तीन है क्योंकि एक दशमलव पाँच तीन बटे दो होता है और उसे पलटने पर दो बटे तीन प्राप्त होता है। इसके अलावा, दशमलव के बाद आने वाली आवर्ती संख्याओं को पहले भिन्नों में परिवर्तित करने पर उनके व्युत्क्रम भी प्राप्त किए जा सकते हैं.

व्युत्क्रम गुणन से घनिष्ठ रूप से जुड़े होते हैं। जब आप किसी संख्या को उसके व्युत्क्रम से गुणा करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक होता है। उदाहरण के लिए, तीन/पांच को पांच/तीन से गुणा करने पर एक आता है। यह धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के लिए काम करता है, लेकिन यह शून्य के लिए कभी काम नहीं करता क्योंकि शून्य का कोई व्युत्क्रम नहीं होता।

भिन्नों की मदद से यह समझना आसान हो जाता है कि व्युत्क्रम कैसा दिखता है। यदि आप तीन बटे चार से शुरू करते हैं, तो उसका व्युत्क्रम चार बटे तीन होता है। यदि आप सात बटे दो से शुरू करते हैं, तो उसका व्युत्क्रम दो बटे सात होता है। उचित भिन्नों, अनुचित भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के लिए प्रक्रिया एक समान है, बशर्ते आप पहले मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदल लें।

ऋणात्मक संख्याओं के भी व्युत्क्रम होते हैं, और प्रक्रिया वही रहती है। उदाहरण के लिए, -2/5 का व्युत्क्रम -5/2 होता है। किसी संख्या को पलटने पर उसका ऋणात्मक या धनात्मक चिह्न नहीं बदलता है। किसी ऋणात्मक संख्या को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर भी एक ही प्राप्त होता है, क्योंकि एक ऋणात्मक संख्या को दूसरी ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है।

भाग में व्युत्क्रम बहुत महत्वपूर्ण होते हैं। जब हम किसी भिन्न से भाग देते हैं, तो हम उसके व्युत्क्रम से गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, दो को तीन से भाग देना, तीन को दो से गुणा करने के बराबर है। यह अंकगणित और बीजगणित दोनों में भिन्नों के साथ काम करने का एक महत्वपूर्ण नियम है।

किसी संख्या को शब्दों में बदलने के लिए, आपको सबसे पहले संख्या को दाईं ओर से शुरू करते हुए तीन अंकों के समूहों में तोड़ना चाहिए। तीन अंकों का प्रत्येक समूह मूल्य के एक स्तर को दर्शाता है। पहला समूह इकाई, दहाई और सैकड़ा का है, दूसरा समूह हजार, दस हजार और लाख का है। अगला समूह लाखों का है, फिर अरबों का, और इसी तरह आगे बढ़ता रहता है। यह विधि आपको संख्याओं को व्यवस्थित तरीके से पढ़ने में मदद करती है और जब संख्या में कई अंक हों तो भ्रम से बचाती है। यह चित्र दर्शाता है कि तीन-चार-दो-तीन-छह-पांच द्वारा दर्शाई गई संख्या को इकाई, दहाई, सैकड़ा, हजार, हजार के दसवें भाग और हजार के लाखवें भाग में कैसे विभाजित किया जाता है।

आइए संख्या लेते हैं 4,572उदाहरण के तौर पर। सबसे पहले, दाईं ओर के अंकों को चार और पांच सौ बहत्तर के रूप में समूहित करें। समूह पांच सौ बहत्तर को यथावत पढ़ा जाता है। समूह चार हजार के स्थान पर है, इसलिए आप चार हजार कहते हैं। इन सबको एक साथ रखने पर चार हजार पांच सौ बहत्तर मिलता है। क्या आप नंबर बदल सकते हैं? 87,664शब्दों में?।

एक और उदाहरण संख्या है 235,814। सबसे पहले, इसे दो सौ पैंतीस और आठ सौ चौदह के समूह में बाँटें। आठ सौ चौदह को ठीक इसी तरह पढ़ा जाता है। दो सौ पैंतीस हजार के स्थान पर है, इसलिए आप दो सौ पैंतीस हजार कहते हैं। इन सबको मिला दें तो दो लाख पैंतीस हजार आठ सौ चौदह आता है।

यदि संख्या में दशमलव बिंदु है, तो पहले पूर्ण संख्या बोलें, फिर बिंदु बोलें और प्रत्येक दशमलव अंक को अलग-अलग पढ़ें। उदाहरण के लिए, 45.67यह पैंतालीस दशमलव छह सात हो जाता हैशब्दों को संख्याओं में बदलने के लिए, पहले यह जांच लें कि वह दहाई, सैकड़ा, हजार, दस हजार या लाख की संख्या में है या नहीं और उसके अनुसार अंकों की गिनती करें। फिर, सबसे पहले सबसे बड़े मान को सुनें और उसे लिख लें। फिर छोटे हिस्सों को सही जगहों पर जोड़ें। उदाहरण के लिए, दो हज़ार तीन सौ उन्नीस हज़ार में है, इसलिए इसमें 4 अंक हैं। दो हजार से शुरू करें, फिर तीन जोड़ें, फिर अंत में उन्नीस जोड़ें, जिससे कुल 2,319 हो जाता है।