संख्याएँ - सत्र 2

मान लीजिए कि दो बल्ब हैं। एक आंख हर चार सेकंड में पलकें झपकाती है और दूसरी आंख हर छह सेकंड में पलकें झपकाती है। क्या आप बता सकते हैं कि एक मिनट में वे कितनी बार एक साथ पलकें झपकाएंगे?। इसका उत्तर देने के लिए सबसे पहले आपको सामान्य गुणज की अवधारणा को समझना होगा। आइए सबसे पहले यह समझते हैं कि गुणज क्या होता है। किसी संख्या को एक, दो, तीन आदि से गुणा करने पर जो गुणज प्राप्त होता है, वह यही है। उदाहरण के लिए, तीन के गुणज तीन, छह, नौ, बारह, पंद्रह हैं, और यह सिलसिला आगे भी जारी रहता है। यदि हम चार जैसी कोई दूसरी संख्या लें, तो उसके गुणज चार, आठ, बारह, सोलह, बीस इत्यादि हैं। ये बिलकुल वैसे ही हैं जैसे आप स्कूल में गुणा के पहाड़े सीखते हैं।

अब हम सामान्य गुणजों के बारे में बात करते हैं। ये वे संख्याएँ हैं जो गुणजों की दोनों सूचियों में दिखाई देती हैं। आइए तीसरे और चौथे बिंदु को फिर से देखें। तीन के गुणज तीन, छह, नौ, बारह, पंद्रह, अठारह और इक्कीस हैं। चार के गुणज चार, आठ, बारह, सोलह और बीस हैं। आप देख सकते हैं कि बारह दोनों सूचियों में है, इसलिए बारह तीन और चार का उभयनिष्ठ गुणज है।

चलिए संख्याओं का एक और जोड़ा आजमाते हैं। यदि हम पाँच और छह लें, तो पाँच के गुणज पाँच, दस, पंद्रह, बीस, पच्चीस, तीस और पैंतीस हैं। छह के गुणज छह, बारह, अठारह, चौबीस, तीस और छत्तीस हैं। आप देख सकते हैं कि तीस दोनों सूचियों में दिखाई देता है। अतः, तीस पाँच और छह का उभयनिष्ठ गुणज है।

कुछ संख्याओं के कई उभयनिष्ठ गुणज होते हैं। उदाहरण के लिए, दो और चार को लें। दो के गुणज दो, चार, छह, आठ, दस, बारह, चौदह, सोलह और इसी प्रकार आगे भी होते हैं। चार के गुणज चार, आठ, बारह, सोलह, बीस आदि हैं। अतः, चार, आठ, बारह, सोलह, बीस और इससे अधिक उभयनिष्ठ गुणज हैं। वे दोनों सूचियों में दिखाई देते हैं, इसलिए हम उन्हें सामान्य कहते हैं।

सामान्य गुणज ज्ञात करने के लिए आपको लंबी सूची लिखने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, छह और आठ को आजमाएं। छह के गुणज छह, बारह, अठारह और चौबीस हैं। आठ के गुणज आठ, सोलह और चौबीस हैं। आप चौबीस पर रुक सकते हैं क्योंकि यह दोनों सूचियों में दिखाई देता है। अतः, चौबीस, छह और आठ का उभयनिष्ठ गुणज है।

आइए इसके बारे में बात करते हैं LCM, जिसका अर्थ है लघुत्तम समापवर्त्य (Least Common Multiple)। इसका अर्थ है कि दो संख्याओं के गुणजों को सूचीबद्ध करने पर उनमें से सबसे छोटी उभयनिष्ठ संख्या क्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम चार और पांच लें, तो चार के गुणज चार, आठ, बारह, सोलह, बीस आदि हैं। पांच के गुणज पांच, दस, पंद्रह, बीस और पच्चीस हैं। दोनों सूचियों में सबसे पहले जो संख्या आती है वह बीस है, इसलिए चार और पांच का लघुत्तम समापवर्त्य बीस है।

यह एक और उदाहरण है। चार और छह को आजमाएं। चार के गुणज चार, आठ, बारह, सोलह और बीस हैं। छह के गुणज छह, बारह, अठारह और चौबीस हैं। दोनों सूचियों में सबसे पहले कौन सा नंबर आता है?। जी हां, यह बारह है। इतना LCMचार और छह का गुणनफल बारह होता है। LCMयह तब उपयोगी होता है जब आप चीजों को मिलाना या सिंक्रनाइज़ करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक ढोल हर चार सेकंड में बजता है और दूसरा हर छह सेकंड में बजता है, तो वे बारह सेकंड के बाद एक साथ बजेंगे। वह बारह सेकंड उनका लघुत्तम समापवर्त्य है।

सामान्य गुणज केवल स्कूली शिक्षा के लिए नहीं होते। वे वास्तविक जीवन में भी मददगार होते हैं। दो बत्तियों को टिमटिमाते हुए कल्पना कीजिए। एक आंख हर चार सेकंड में पलकें झपकाती है, और दूसरी आंख हर छह सेकंड में पलकें झपकाती है। यह जानने के लिए कि वे कब एक साथ पलकें झपकाएंगे, आप चार और छह का उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात करते हैं। उनका लघुत्तम समापवर्त्य बारह है, इसलिए वे हर बारह सेकंड में एक ही समय पर पलकें झपकाते हैं। इससे पता चलता है कि कैसे सरल गणित से वास्तविक समस्याओं का समाधान किया जा सकता है। क्या आप बता सकते हैं कि ये बत्तियाँ एक मिनट में कितनी बार एक साथ झपकेंगी?।

आइए अब परिमेय संख्याओं को समझते हैं। एक परिमेय संख्या वह संख्या होती है जिसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। इसका मतलब है कि इसे एक संख्या को दूसरी संख्या से भाग देकर लिखा जा सकता है, जैसे तीन को चार से भाग देना या पांच को एक से भाग देना। दो या सात जैसी पूर्ण संख्याएँ भी परिमेय होती हैं क्योंकि आप उन्हें दो बटे एक या सात बटे एक के रूप में लिख सकते हैं। परिमेय संख्याएँ दशमलव संख्याएँ भी हो सकती हैं जो रुकती हैं या दोहराई जाती हैं, जैसे शून्य दशमलव पाँच या शून्य दशमलव तीन तीन तीन।

यहां परिमेय संख्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। आधा एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह एक भिन्न है। चार एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह चार बटे एक के बराबर है। शून्य दशमलव सात पाँच एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह तीन बटे चार के बराबर है। शून्य दशमलव छह छह छह जैसी आवर्ती दशमलव संख्याएँ भी परिमेय होती हैं क्योंकि वे एक पैटर्न में आगे बढ़ती हैं।

आपको यह जानकर आश्चर्य हो सकता है कि पूर्ण संख्याएँ भी परिमेय संख्याएँ होती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि आप संख्या चार को एक से भाग देकर लिख सकते हैं। आप शून्य को शून्य को एक से भाग देकर लिख सकते हैं। सौ जैसी बड़ी संख्याओं को भी भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। जब तक नीचे की संख्या शून्य नहीं होती, तब तक वह संख्या परिमेय होती है।

अब आइए दशमलव संख्याओं के बारे में बात करते हैं। कुछ दशमलव संख्याएँ परिमेय भी होती हैं। यदि कोई दशमलव संख्या रुक जाती है, जैसे शून्य दशमलव पाँच या शून्य दशमलव दो पाँच, तो वह परिमेय संख्या है। इन्हें टर्मिनेटिंग डेसिमल कहा जाता है क्योंकि ये समाप्त हो जाते हैं। आप इन्हें भिन्नों के रूप में भी लिख सकते हैं, इसलिए ये परिमेय संख्याएँ भी हैं।

कुछ दशमलव संख्याएँ रुकती नहीं हैं बल्कि एक ही पैटर्न को दोहराती रहती हैं। ये भी परिमेय संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, शून्य दशमलव तीन तीन तीन, जिसमें तीन अनंत तक चलता रहता है, एक परिमेय संख्या है। जब दोहराया जाने वाला भाग भी लंबा होता है, जैसे शून्य दशमलव एक चार दो आठ एक चार दो आठ, तो यह भी परिमेय होता है, बशर्ते यह एक पैटर्न का अनुसरण करता हो। सभी आवर्ती दशमलव संख्याओं को भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।

किसी संख्या के परिमेय होने की जाँच करने का एक और तरीका यह है कि आप स्वयं से यह प्रश्न पूछें, क्या मैं इसे एक भिन्न के रूप में लिख सकता हूँ जहाँ ऊपर और नीचे दोनों पूर्ण संख्याएँ हों?। यदि हाँ, तो यह एक परिमेय संख्या है। नीचे की संख्या शून्य नहीं हो सकती क्योंकि गणित में शून्य से भाग देना वर्जित है। इसलिए, छह को चार से भाग देना ठीक है, लेकिन छह को शून्य से भाग देना ठीक नहीं है। ध्यान रहे, एक परिमेय संख्या को दो पूर्ण संख्याओं के अनुपात होने के नियम का पालन करना चाहिए।

संक्षेप में, परिमेय संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें स्पष्ट रूप से भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और दशमलव संख्याएँ शामिल हैं जो रुकती हैं या दोहराई जाती हैं। परिमेय संख्याएँ गणित में बहुत आम हैं और इनके साथ काम करना आसान है। आप इन्हें अपने स्कूल के लगभग हर कार्य में देखेंगे। एक बार जब आप उन्हें पहचानना सीख जाते हैं, तो उन्हें समझना आसान हो जाता है।