संख्याएँ - सत्र 2

क्या आपने कभी सोचा है कि किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करने पर क्या होता है?। आपके विचार से इसका परिणाम क्या होगा?वर्ग संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होती हैं। इसका मतलब यह है कि यदि आप किसी भी पूर्ण संख्या को उसी संख्या से गुणा करते हैं, तो परिणाम एक वर्ग संख्या होता है। उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या दो को दो से गुणा करते हैं, तो परिणाम चार होता है। इसी प्रकार, यदि आप तीन को तीन से गुणा करते हैं, तो परिणाम नौ होता है। यही क्रम अन्य संख्याओं के साथ भी जारी रहता है।

एक वर्ग संख्या को वर्ग के क्षेत्रफल के रूप में समझा जा सकता है। यदि आपके पास चार भुजाओं वाला एक वर्ग है, तो उस वर्ग का क्षेत्रफल सोलह होगा क्योंकि चार को चार से गुणा करने पर सोलह आता है। यह विचार हमें यह समझने में मदद करता है कि इन संख्याओं को वर्ग संख्याएँ क्यों कहा जाता है।

एक अन्य महत्वपूर्ण अवधारणा वर्गमूल है। वर्गमूल, वर्ग संख्या का विपरीत होता है। उदाहरण के लिए, सोलह का वर्गमूल चार होता है क्योंकि चार को चार से गुणा करने पर सोलह ही प्राप्त होता है। वर्गमूल की सहायता से हम यह पता लगा सकते हैं कि किस संख्या को स्वयं से गुणा करने पर वर्ग संख्या प्राप्त हुई। यह गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है और इसका उपयोग वर्गों या क्षेत्रफलों से संबंधित समस्याओं को हल करते समय किया जाता है।

घन संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो किसी संख्या को तीन बार स्वयं से गुणा करने पर प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या दो को तीन बार स्वयं से गुणा करते हैं, तो आपको आठ प्राप्त होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दो को दो से गुणा करने पर चार आता है, और फिर चार को दोबारा दो से गुणा करने पर आठ मिलता हैइसी प्रकार, यदि आप तीन को तीन बार स्वयं से गुणा करते हैं, तो आपको सत्ताईस प्राप्त होता है। इसलिए, घन संख्याएँ किसी संख्या को तीन बार स्वयं से गुणा करने का परिणाम होती हैं.

वर्ग संख्याओं की तरह ही, घन संख्याओं को भी आकृतियों के बारे में सोचकर समझा जा सकता है। एक घन की कल्पना कीजिए, जो एक त्रि-आयामी आकृति है। यदि घन की प्रत्येक भुजा तीन इकाई लंबी है, तो घन का आयतन तीन को तीन से और फिर तीन से गुणा करने का परिणाम होगा। इससे हमें सत्ताईस की संख्या प्राप्त होती है, जो घन का आयतन घन इकाइयों में है। इसलिए हम इन्हें घन संख्याएँ कहते हैं क्योंकि ये एक घन के आयतन को दर्शाती हैं, जहाँ सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

घन संख्याओं से संबंधित एक और दिलचस्प अवधारणा घनमूल है। जिस प्रकार वर्गमूल वर्ग संख्याओं के विपरीत होते हैं, उसी प्रकार घनमूल घन संख्याओं के विपरीत होते हैं। आठ का घनमूल दो है क्योंकि दो को तीन बार स्वयं से गुणा करने पर आठ आता है। घनमूल तब उपयोगी होता है जब आपको उस मूल संख्या का पता लगाना हो जिसका घन किया गया हो।

गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जो किसी दी गई संख्या को पूरी तरह से विभाजित करती हैं। स्पष्ट करने के लिए, मान लीजिए आपके पास एक संख्या है, जैसे बारह। बारह के गुणनखंड वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें आपस में गुणा करने पर बारह प्राप्त होता है। इन कारकों में एक, दो, तीन, चार, छह और स्वयं बारह शामिल हैं।

इसका मतलब यह है कि यदि आप एक को बारह से गुणा करते हैं, या दो को छह से गुणा करते हैं, या तीन को चार से गुणा करते हैं, तो आपको हमेशा बारह ही मिलेगा। संक्षेप में, कारक किसी संख्या को छोटे, प्रबंधनीय घटकों में विभाजित करने में मदद करते हैं। वे किसी भी संख्या के मूलभूत निर्माण खंड हैं।

इसे और स्पष्ट करने के लिए, कारकों को वस्तुओं के समूह को विभाजित करने के संदर्भ में सोचें। मान लीजिए आपके पास बारह सेब हैं, और आप उन्हें छोटे-छोटे समूहों में व्यवस्थित करना चाहते हैं। संख्या एक किसी भी संख्या का गुणनखंड होती है क्योंकि किसी भी संख्या को एक से विभाजित किया जा सकता है। इसी प्रकार, बारह सेबों को दो-दो सेबों के छह समूहों में, या तीन-तीन सेबों के चार समूहों में, या छह-छह सेबों के दो समूहों में, या चार-चार सेबों के तीन समूहों में विभाजित किया जा सकता है। गुणनखंड हमें यह दर्शाकर किसी संख्या की संरचना को समझने में मदद करते हैं कि कौन सी संख्याएँ उसे पूरी तरह से विभाजित कर सकती हैं। यह पता लगाने जैसा है कि कौन इससे समान आकार के समूह बना सकता है।

अब, उभयनिष्ठ कारक वे कारक हैं जो दो या दो से अधिक संख्याओं में समान होते हैं। सरल शब्दों में कहें तो, यदि आप दो संख्याओं की तुलना कर रहे हैं, तो उभयनिष्ठ गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जो उन दोनों संख्याओं को पूरी तरह से विभाजित करती हैं। आइए बारह और अठारह का उदाहरण लेते हैं। उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले बारह के गुणनखंडों की सूची बनाएं, जो कि एक, दो, तीन, चार, छह और बारह हैं। फिर, आप अठारह के गुणनखंडों की सूची बनाते हैं, जो कि एक, दो, तीन, छह, नौ और अठारह हैं। बारह और अठारह के बीच उभयनिष्ठ गुणनखंड एक, दो, तीन और छह हैं। ये संख्याएँ बारह और अठारह दोनों के गुणनखंड हैं।

अब आपको बीस और तीस संख्याएँ दी गई हैं। क्या आप उनके सामान्य कारक ढूंढ सकते हैं?। सबसे पहले आपको प्रत्येक संख्या के गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। बीस के लिए, आप सबसे पहले उन सभी संख्याओं को देखते हैं जो बीस को पूरी तरह से विभाजित कर सकती हैं, यानी बिना शेष छोड़े। ये कारक एक, दो, चार, पांच, दस और बीस हैं। ये वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें जोड़े में गुणा करने पर बीस प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक गुना बीस बीस के बराबर होता है, दो गुना दस बीस के बराबर होता है, इत्यादि।

अब, यही प्रक्रिया तीस संख्या के लिए भी करते हैं। तीस के गुणनखंड एक, दो, तीन, पांच, छह, दस, पंद्रह और तीस हैं। ये संख्याएँ तीस को पूरी तरह से विभाजित कर सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक गुना तीस तीस के बराबर होता है, दो गुना पंद्रह तीस के बराबर होता है, और इसी तरह आगे भी। अब, उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, आप गुणनखंडों की दोनों सूचियों की तुलना करते हैं। आप उन संख्याओं को ढूंढते हैं जो दोनों सूचियों में मौजूद हों। यदि आप बीस और तीस के गुणनखंडों की तुलना करें, तो आप पाएंगे कि एक, दो, पांच और दस दोनों सूचियों में मौजूद हैं। ये बीस और तीस के उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं।

महत्तम उभयनिष्ठ गुणनखंड वह सबसे बड़ी संख्या है जो दो या दो से अधिक संख्याओं को शेषफल छोड़े बिना पूर्ण रूप से विभाजित कर सकती है। यह दो संख्याओं के बीच सबसे बड़ा साझा गुणनखंड ज्ञात करने का एक तरीका है। उदाहरण के लिए, यदि आपको चौबीस और छत्तीस संख्याएँ दी गई हैं, तो आप प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंडों की पहचान करके शुरुआत करेंगे।

चौबीस के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले उन सभी संख्याओं की सूची बनाएं जो चौबीस को पूरी तरह से विभाजित कर सकती हैं। ये एक, दो, तीन, चार, छह, आठ, बारह और चौबीस हैं। ये चौबीस के गुणनखंड हैं क्योंकि इन्हें अन्य संख्याओं से गुणा करने पर चौबीस प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, एक को चौबीस से गुणा करने पर चौबीस आता है, और दो को बारह से गुणा करने पर चौबीस आता है.

इसके बाद, आप यही प्रक्रिया छत्तीस के लिए दोहराएं। छत्तीस के गुणनखंड एक, दो, तीन, चार, छह, नौ, बारह, अठारह और छत्तीस हैं। ये सभी संख्याएँ हैं जो छत्तीस को पूरी तरह से विभाजित करती हैंअब, सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, आप गुणनखंडों के दोनों समूहों को देखते हैं और उन संख्याओं को चुनते हैं जो दोनों समूहों में समान हैं। इस मामले में, दोनों सूचियों में समान संख्याएँ एक, दो, तीन, छह और बारह हैं। इनमें से सबसे बड़ा बारह इंच का है। अतः, चौबीस और छत्तीस का महत्तम उभयनिष्ठ गुणनखंड बारह है। क्या आप पच्चीस और पचास का महत्तम समापवर्तक बता सकते हैं?