संख्याएँ - सत्र 1

आपने सबसे पहले कौन-सी संख्या गिनना सीखा था?। संभवतः, यह उनमें से एक था। प्राकृतिक संख्याएँ वे मूलभूत संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती के लिए करते हैं। जब कोई बच्चा उंगलियां गिनना सीखना शुरू करता है, तो वह आमतौर पर एक, दो, तीन और इसी तरह गिनना शुरू करता है। इन संख्याओं को प्राकृतिक संख्याएँ कहा जाता है क्योंकि वास्तविक जीवन में चीजों को गिनना शुरू करने पर ये स्वाभाविक रूप से सामने आती हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप सेब, कुर्सियाँ या दिन गिन रहे हैं, तो आप प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करते हैं।

एक महत्वपूर्ण बात जो याद रखनी चाहिए वह यह है कि प्राकृतिक संख्याओं में शून्य, ऋणात्मक संख्याएँ, या कोई भिन्न या दशमलव बिंदु शामिल नहीं होते हैं। इसलिए -1, 0, 35 या 27 जैसी संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। इसमें केवल पूर्ण धनात्मक संख्याएँ जैसे 1, 2, 3, 4 इत्यादि शामिल हैं।

कई सरल गणितीय संक्रियाओं में प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग किया जाता है। जब आप दो प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ते हैं, जैसे 5 और 7, तो आपको एक और प्राकृतिक संख्या मिलती है, जो कि 12 है। गुणा के मामले में भी यही बात लागू होती है। यदि आप 3 और 4 को गुणा करते हैं, तो आपको 12 मिलता है, जो कि एक प्राकृतिक संख्या है। इसलिए प्राकृतिक संख्याएँ योग और गुणन के अंतर्गत बंद संख्याएँ कहलाती हैं। इसका सीधा सा मतलब है कि जब आप इन दो संक्रियाओं का उपयोग करते हैं, तो आप हमेशा प्राकृतिक संख्याओं के समूह के भीतर ही रहते हैं।

लेकिन घटाव या भाग करने पर स्थिति बदल जाती है। यदि आप किसी छोटी संख्या में से किसी बड़ी संख्या को घटाते हैं, जैसे 3 में से 5 को घटाते हैं, तो आपको एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, जो कि एक प्राकृतिक संख्या नहीं है। और अगर आप 3 को 2 से भाग देते हैं, तो आपको 15 मिलता है, जो एक दशमलव संख्या है, प्राकृतिक संख्या नहीं। इसलिए प्राकृतिक संख्याएँ घटाव या भाग के अंतर्गत बंद नहीं होती हैं।

पूर्ण संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग हम गिनती करते समय करते हैं और जिनमें शून्य भी शामिल होता है। इसलिए, पूर्ण संख्याएँ 0, 1, 2, 3, 4, 5, इत्यादि हैं। वे प्राकृतिक संख्याओं की तरह अनंत तक चलते रहते हैं, लेकिन मुख्य अंतर यह है कि पूर्ण संख्याएँ शून्य से शुरू होती हैं, एक से नहीं। इस पर इस तरीके से विचार करें। जब आप उंगलियां गिनते हैं, तो आप आमतौर पर 1 से शुरू करते हैं, जो एक प्राकृतिक संख्या है। लेकिन अगर आप "कुछ नहीं" की अवधारणा को शामिल करना चाहते हैं, जैसे कि शून्य सेब या शून्य रुपये होना, तो आप पूर्ण संख्याओं का उपयोग कर रहे हैं। इसलिए पूर्ण संख्याओं में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, साथ ही शून्य भी शामिल हैं।

सम संख्याएँ वे पूर्ण संख्याएँ होती हैं जो 2 से पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं। इसका मतलब है कि जब आप उन्हें 2 से भाग देते हैं, तो कोई शेष नहीं बचता है। ये संख्याएँ बिल्कुल सटीक जोड़े बनाती हैं। सम संख्याएँ हमेशा 0, 2, 4, 6 या 8 पर समाप्त होती हैं। आइए 8 को उदाहरण के तौर पर लेते हैं। यदि आपके पास 8 कैंडी हैं और आप उन्हें 2 लोगों के बीच बांटना चाहते हैं, तो प्रत्येक व्यक्ति को 4 कैंडी मिलेंगी। यह उचित और समान है। अतः 8 एक सम संख्या है।

विषम संख्याएँ वे पूर्ण संख्याएँ होती हैं जो 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं हो सकतीं। जब आप उन्हें 2 से भाग देने का प्रयास करते हैं, तो हमेशा 1 शेष बचता है। ये संख्याएँ पूर्ण जोड़े नहीं बनाती हैं। विषम संख्याएँ हमेशा 1, 3, 5, 7 या 9 पर समाप्त होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास 7 कुकीज़ हैं और आप उन्हें 2 लोगों के बीच बांटने की कोशिश करते हैं, तो प्रत्येक को 3 मिलती हैं और 1 कुकी बच जाती है। उस बचे हुए हिस्से का मतलब है कि 7 एक विषम संख्या है। आप विषम संख्या और सम संख्या के बीच अंतर जल्दी से कैसे बता सकते हैं?। बस संख्या के अंतिम अंक को देखें। यदि इसका अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 है, तो यह सम संख्या है। यदि यह 1, 3, 5, 7, या 9 पर समाप्त होता है, तो यह विषम संख्या है। यह तरकीब किसी भी संख्या के लिए काम करती है, चाहे वह कितनी भी बड़ी क्यों न हो।

अभाज्य संख्याएँ गणित में विशेष प्रकार की संख्याएँ होती हैं। ये पूर्ण संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से ही पूर्णतः विभाजित हो सकती हैं। इसका मतलब है कि उनके पास केवल दो कारक हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 5 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे पूरी तरह से विभाजित करने वाली एकमात्र संख्याएँ 1 और 5 हैं। आप 5 को 2, 3 या 4 से भाग नहीं दे सकते, बिना शेषफल या दशमलव संख्या प्राप्त किए। 2, 3, 5, 7, 11, 13 और 17, ये सभी संख्याएँ केवल 1 और स्वयं उस संख्या से ही विभाजित हो सकती हैं। यदि आप उन्हें किसी अन्य संख्या से भाग देने का प्रयास करेंगे, तो परिणाम बराबर नहीं आएगा। यही बात उन्हें सर्वश्रेष्ठ बनाती है।

अब यहाँ एक महत्वपूर्ण बात है। 2 एकमात्र ऐसी सम संख्या है जो अभाज्य संख्या है। अन्य सभी सम संख्याएँ 2 से विभाजित हो सकती हैं, इसलिए वे अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। उदाहरण के लिए, 4 को 1, 2 और 4 से विभाजित किया जा सकता है, जिससे इसके दो से अधिक गुणनखंड प्राप्त होते हैं, इसलिए यह एक अभाज्य संख्या नहीं है। 2 के बाद, बाकी सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं।

पूर्णांक संख्याओं का एक बड़ा समूह है जिसमें केवल गिनती की संख्याएँ ही नहीं बल्कि और भी बहुत कुछ शामिल होता है। 1, 2, 3 जैसी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांकों का हिस्सा हैं, लेकिन पूर्णांकों में शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल हैं। तो पूर्णांकों का पूरा सेट इस प्रकार दिखता है। दोनों दिशाओं में -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, और इसी प्रकार आगे भी। वे बाईं ओर और दाईं ओर अनंत काल तक चलते रहते हैं।

एक संख्या रेखा की कल्पना कीजिए। केंद्र में, आपके पास 0 है। दाईं ओर, आपके पास 1, 2, 3 जैसी धनात्मक संख्याएँ हैं। बाईं ओर, आपको -1, -2, -3 जैसी ऋणात्मक संख्याएँ मिलेंगी। यह पूरी पंक्ति पूर्णांकों से भरी हुई है। इसलिए, यदि आप आगे बढ़ते हैं, तो आपको बड़ी संख्याएँ मिलती हैं, और यदि आप पीछे हटते हैं, तो आप नकारात्मक पक्ष में चले जाते हैं। इस प्रकार पूर्णांक हमें दोनों दिशाओं में मूल्यों को दर्शाने में मदद करते हैं।

पूर्णांकों का उपयोग तब किया जाता है जब हमें लाभ और हानि दोनों को दर्शाने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, तापमान में, यदि यह शून्य से पांच डिग्री ऊपर है, तो हम प्लस पांच लिखते हैं। यदि तापमान शून्य से पांच डिग्री नीचे है, तो हम -5 लिखते हैं। खेलों में, यदि कोई टीम अंक खो देती है या उसे दंड मिलता है, तो हम ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करते हैं। बैंक खातों में भी पूर्णांकों का उपयोग होता है। यदि आप अपनी आय से अधिक खर्च करते हैं, तो आपके खाते की शेष राशि ऋणात्मक हो सकती है। वास्तविक जीवन की स्थितियों में पूर्णांक इसी तरह दिखाई देते हैं, जहां मान बढ़ या घट सकते हैं।

धनात्मक पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जो शून्य से बड़ी होती हैं। ये 1, 2, 3, 10 और 100 जैसी संख्याएँ हैं। ये किसी वृद्धि, लाभ या आगे या ऊपर की दिशा में गति को दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, 500 रुपये बचाना या किसी खेल में 10 अंक अर्जित करना धनात्मक पूर्णांकों का उपयोग करके दर्शाया जाता है। ये संख्या रेखा पर हमेशा शून्य के दाईं ओर दिखाई देते हैं।

ऋणात्मक पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जो शून्य से कम हैं। इनमें -1, -3 और -10 जैसी संख्याएँ शामिल हैं। हम इनका उपयोग तब करते हैं जब हम किसी हानि, गिरावट या किसी चीज के प्रारंभिक बिंदु से नीचे जाने का संकेत देना चाहते हैं। यदि तापमान शून्य से नीचे गिर जाता है या किसी पर पैसे का बकाया होता है, तो हम ऋणात्मक पूर्णांकों का उपयोग करते हैं। ये संख्याएँ संख्या रेखा पर हमेशा शून्य के बाईं ओर दिखाई जाती हैं।

गणितीय संक्रियाओं की बात करें तो, पूर्णांक विशिष्ट तरीकों से व्यवहार करते हैं। दो पूर्णांकों को जोड़ने या घटाने से आपको एक और पूर्णांक प्राप्त होगा। उदाहरण के लिए, -3 में 5 जोड़ने पर 2 प्राप्त होता है। या फिर अगर आप 7 में से 10 घटाते हैं, तो आपको -3 मिलता है। गुणा भी इसी तरह काम करता है। लेकिन भाग देने पर, कभी-कभी आपको एक भिन्न या दशमलव संख्या मिल सकती है, जो अब पूर्णांक नहीं रह जाती।