गणित क्या है? - सत्र 2

अन्य महान सभ्यताओं की तरह, रोमनों को भी अपनी संपत्ति गिनने, अपनी जीत का हिसाब रखने और अपने साम्राज्य का निर्माण करने के लिए एक तरीके की आवश्यकता थी। आज हम जिन संख्याओं का उपयोग करते हैं, उनके बजाय वे रोमन अंकों के रूप में जानी जाने वाली अक्षरों की एक अनूठी प्रणाली का उपयोग करते थे। रोमन अंकों का निर्माण दो हजार साल से भी अधिक समय पहले हुआ था। रोमनों ने रोजमर्रा के कार्यों में सहायता के लिए इस प्रणाली का विकास किया था। यह प्रणाली उनके लिए उपयोग करने में सरल थी क्योंकि यह लैटिन वर्णमाला पर आधारित थी, जिससे वे पहले से ही परिचित थे।

रोमन अंक प्रणाली में सात मूल प्रतीक होते हैं। प्रत्येक प्रतीक एक अलग मान को दर्शाता हैI का अर्थ है नंबर एक। V का अर्थ है संख्या पाँच। X का अर्थ है संख्या दस। L का अर्थ पचास है। C का अर्थ है संख्या सौ। D का अर्थ है पांच सौ। M का अर्थ है एक हजार।

जब कोई छोटी संख्या किसी बड़ी संख्या के बाद आती है, तो आप उनके मानों को आपस में जोड़ देते हैं। उदाहरण के लिए, VIपांच में एक जोड़ने पर छह आता है। जब कोई छोटी संख्या किसी बड़ी संख्या से पहले आती है, तो आप बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटा देते हैं। उदाहरण के लिए, IVपांच में से एक घटाने पर चार आता है।

आप किसी प्रतीक को अधिकतम तीन बार दोहराकर उसका मूल्य बढ़ा सकते हैं। एक ही प्रतीक का लगातार तीन बार से अधिक उपयोग न करें। उदाहरण के लिए, लिखने के बजाय IIIIचार को दर्शाने के लिए लिखें IV। अंक IIयह बस एक प्लस एक है, जो दो के बराबर है। अंक IIIयह बस एक प्लस एक प्लस एक है, जो तीन के बराबर है। अंक XIIIदस, एक, एक और एक है, जो तेरह के बराबर है। क्या आप इस अंक का मान बता सकते हैं? VIII?।

अंक IXदस में से एक घटाने पर नौ आता है। अंक XXIVदस, दस, पाँच और एक घटाने पर चौबीस आता है। यहां, X में I जोड़ने के बजाय, इसे V से घटाया जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि I के बाद एक बड़ी संख्या V है। इसलिए हम पहले इसे V से घटाएंगे और फिर अंतिम मान को पिछले मान में जोड़ेंगे। क्या आप इस अंक का मान बता सकते हैं? XIX?।

बड़ी संख्याओं के लिए भी यही नियम लागू होते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं। अंक XCसौ में से दस घटाने पर नब्बे आता हैअंक CMहजार में से सौ घटाने पर नौ सौ आता है। इस संख्या का मान क्या है? XD?।

शून्य, जो आधुनिक गणित और दैनिक जीवन का एक अभिन्न अंग है, हमेशा से संख्यात्मक प्रणालियों का हिस्सा नहीं था। क्या यह आश्चर्यजनक नहीं है?। इसके आविष्कार ने गणित में क्रांति ला दी। इसने जटिल गणनाओं और विभिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रों के विकास के लिए एक आधार प्रदान किया। शून्य के इतिहास को समझने से हमें यह जानकारी मिलती है कि सदियों से मानव विचार का विकास कैसे हुआ है।

प्राचीन काल में, कई सभ्यताओं ने व्यापार, खगोल विज्ञान और अभिलेख रखने के लिए संख्यात्मक प्रणालियों का विकास किया। मिस्रवासियों, बेबीलोनियों और रोमनों द्वारा उपयोग की जाने वाली इन प्रारंभिक प्रणालियों में शून्य को एक संख्या के रूप में मानने की कोई अवधारणा नहीं थी। उनके पास मात्राओं को दर्शाने के लिए प्रतीक थे। उनके पास किसी मात्रा की अनुपस्थिति को दर्शाने का कोई तरीका नहीं था।

मिस्रवासी चित्रलिपि पर आधारित एक प्रणाली का उपयोग करते थे जिसमें दस की प्रत्येक घात के लिए अलग-अलग प्रतीक होते थे। उनके पास शून्य का कोई प्रतीक नहीं था। बेबीलोनियों ने षट्दशमलव प्रणाली का उपयोग किया और शून्य के लिए एक स्थानसूचक रखा था। यह वैसा वास्तविक शून्य नहीं था जैसा हम आज समझते हैं।

रोमन लोग रोमन अंकों का उपयोग करते थे, जिनमें शून्य के लिए कोई प्रतीक नहीं था। शून्य की अवधारणा, एक प्लेसहोल्डर और एक संख्या दोनों के रूप में, कई क्षेत्रों में स्वतंत्र रूप से विकसित हुई। यानी, दुनिया भर में कई लोगों ने अपने-अपने आधार पर इसे महत्वपूर्ण समझा। शून्य का सबसे महत्वपूर्ण विकास प्राचीन भारत में लगभग पाँचवीं शताब्दी में हुआ था AD। भारतीय गणितज्ञ उन पहले लोगों में से थे जिन्होंने शून्य को एक संख्या के रूप में माना, जिसका अपना मूल्य और प्रतीक होता है।

आर्यभट उन शुरुआती लोगों में से एक थे जिन्होंने स्थान मान प्रणाली का उपयोग किया, जो आधुनिक दशमलव प्रणाली की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। यह प्रणाली अंकों के मान को दर्शाने के लिए स्थितियों का उपयोग करती है, जिससे गणनाएँ अधिक सरल और कुशल हो जाती हैं। उसके पास शून्य का कोई प्रतीक नहीं था। उनके काम में स्थान मान की अवधारणा निहित थी, जिसके लिए संख्याओं में रिक्त स्थानों को दर्शाने के लिए शून्य का उपयोग आवश्यक था।

हालांकि आर्यभट के कार्यों ने आधारशिला रखी, लेकिन ब्रह्मगुप्त ने ही शून्य की अवधारणा को एक संख्या के रूप में औपचारिक रूप दिया। ब्रह्मगुप्त ने शून्य को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया और शून्य से संबंधित अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए नियम प्रदान किए। उन्होंने शून्य को एक संख्या के रूप में माना, जो महज एक प्लेसहोल्डर से अलग थी। ब्रह्मगुप्त ने शून्य से संबंधित जोड़, घटाव और गुणा जैसी संक्रियाओं का वर्णन किया।

उदाहरण के लिए, किसी संख्या में शून्य जोड़ने से संख्या में कोई बदलाव नहीं होता है। किसी संख्या से शून्य घटाने पर वह संख्या अपरिवर्तित रहती है। किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य ही प्राप्त होता है। भारतीय लोग शून्य को दर्शाने के लिए एक बिंदु या छोटे वृत्त का उपयोग करते थे। यह प्रतीक विकसित होकर आज के शून्य में तब्दील हो गया है। शून्य के लिए संस्कृत शब्द था śūnyaजिसका अर्थ है खाली या शून्य।

इस्लामी विद्वानों ने भारतीय गणितीय कृतियों का अनुवाद और विस्तार किया। फारसी गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी और अरब गणितज्ञ अल-किंदी ने शून्य की अवधारणा के प्रसार में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। अल-ख्वारिज्मी की रचनाओं ने हिंदू-अरबी अंक प्रणाली, जिसमें शून्य भी शामिल है, को इस्लामी दुनिया से परिचित कराया। बारहवीं शताब्दी तक, अरबी ग्रंथों के अनुवाद के माध्यम से शून्य की अवधारणा यूरोप तक पहुंच गई थी। इतालवी गणितज्ञ फिबोनाची ने अपनी पुस्तक लिबर अबासी के माध्यम से यूरोप में हिंदू अरबी अंक प्रणाली को लोकप्रिय बनाने में मदद की।

आधुनिक गणितीय नवाचारों ने विभिन्न विषयों में समस्या समाधान के तरीके में क्रांति ला दी है। कैलकुलस भौतिकी और अर्थशास्त्र में होने वाले परिवर्तनों का विश्लेषण करता है। संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी विभिन्न क्षेत्रों में परिणामों की भविष्यवाणी करते हैं और डेटा का विश्लेषण करते हैं। संख्या सिद्धांत क्रिप्टोग्राफी और कंप्यूटर एल्गोरिदम का समर्थन करता है। सेट-थ्योरी और अमूर्त बीजगणित डेटा को व्यवस्थित करते हैं और संरचनाओं का अध्ययन करते हैं, जो कंप्यूटर विज्ञान और भौतिकी में महत्वपूर्ण हैं। श्रेणी सिद्धांत गणित और दुनिया के मूलभूत पहलुओं की व्याख्या करता है। ये प्रगति इंजीनियरिंग, सामाजिक विज्ञान और अन्य क्षेत्रों में निरंतर सुधार ला रही है, जिससे हमारी तकनीकी दुनिया का स्वरूप बदल रहा है।