Les nombres - Séance 6

En mathématiques, un ensemble universel désigne le plus grand ensemble d'un problème. Il contient tous les éléments que nous étudions à ce moment-làChaque ensemble plus petit que nous fabriquons doit provenir de cet ensemble universel. Vous pouvez l'imaginer comme une grande boîte contenant tout ce dont nous parlons, et à l'intérieur de cette boîte, nous pouvons en sortir des groupes plus petits. L'ensemble universel est généralement écrit avec la lettre U.

Par exemple, si nous travaillons avec les nombres de un à dix, alors l'ensemble universel est le groupe de tous les nombres de un à dix. À partir de ce groupe principal, nous pouvons former des groupes plus petits. Un groupe plus restreint pourrait être celui des nombres pairs de un à dix, c'est-à-dire deux, quatre, six, huit et dix. Un autre groupe plus restreint pourrait être celui des nombres impairs compris entre un et dix, c'est-à-dire un, trois, cinq, sept et neuf. Ces deux petits groupes font partie de l'ensemble universel car ils proviennent tous des nombres de un à dix.

Si nous étudions les formes, alors l'ensemble universel pourrait inclure toutes les formes que nous observons, telles que le cercle, le carré, le triangle et le rectangle. À partir de cet ensemble universel, nous pouvons former des groupes plus petits. Un groupe pourrait être constitué de formes à côtés droits, comme le carré, le rectangle et le triangle. Un autre groupe pourrait être constitué de formes aux côtés incurvés, comme le cercle.

L'ensemble universel peut également être très volumineux. Par exemple, si l'on considère que l'ensemble universel est constitué de tous les êtres vivants, alors il inclura les humains, les animaux, les plantes et les arbres. À partir de là, nous pouvons créer des ensembles plus petits, comme des animaux ou des plantes. Un autre exemple très important est celui où l'on dit que l'ensemble universel est l'ensemble de tous les nombres naturels, c'est-à-dire les nombres entiers positifs commençant à un et se poursuivant à l'infini. À partir de cet ensemble, nous pouvons former des groupes plus petits, comme tous les nombres pairs ou tous les nombres impairs.

Dans les diagrammes de Venn, l'ensemble universel est représenté par un grand rectangle. À l'intérieur du rectangle, nous dessinons des cercles pour les ensembles plus petits. Si l'ensemble universel est constitué de tous les élèves d'une classe, alors un cercle pourrait être composé des élèves qui aiment le football, un autre cercle des élèves qui aiment le cricket et un troisième cercle des élèves qui aiment la natation. Le rectangle représente la classe entière, y compris les élèves qui ne rentrent dans aucun des cercles.

Un sous-ensemble désigne un ensemble plus petit issu d'un ensemble plus grand. Si chaque élément d'un ensemble se retrouve également dans un autre ensemble, alors le premier ensemble est appelé un sous-ensemble du second ensemble. Cela montre que les sous-ensembles font toujours partie d'un groupe plus largePar exemple, si notre ensemble universel est constitué des nombres de un à dix, alors l'ensemble des nombres pairs compris entre un et dix est un sous-ensemble de l'ensemble universel, car tous ces nombres appartiennent à l'ensemble de un à dix. De la même manière, l'ensemble des nombres impairs compris entre un et dix est également un sous-ensemble de l'ensemble universel. Ces deux petits ensembles s'insèrent parfaitement dans le plus grand.

Lorsque nous dessinons des diagrammes de Venn, nous pouvons indiquer des sous-ensembles comme un cercle entièrement inclus dans un autre cercle. Par exemple, si l'ensemble universel est constitué de tous les fruits, et qu'un ensemble plus petit est constitué de fruits tropicaux comme la mangue et l'ananas, alors le cercle des fruits tropicaux s'inscrira complètement à l'intérieur du cercle plus grand de tous les fruits. Cela montre clairement que le plus petit ensemble est un sous-ensemble du plus grand.

Pour indiquer cela en mathématiques, on utilise un symbole spécial. Nous l'écrivons comme A ⊆ B et le lisons comme A est un sous-ensemble de B. Cela signifie que chaque élément de l'ensemble A est également un élément de l'ensemble B. Par exemple, si A est l'ensemble des nombres pairs tels que deux, quatre et six, et B est l'ensemble un, deux, trois, quatre, cinq et six, alors nous pouvons écrire A ⊆ B. Cela montre que tous les nombres de l'ensemble A se trouvent déjà dans l'ensemble B. Supposons que l'ensemble A contienne tous les nombres impairs et que l'ensemble B contienne tous les nombres premiers. Pouvez-vous déterminer si l'ensemble B est un sous-ensemble de l'ensemble A ou non ?.

Il y a deux règles particulières que vous devez toujours retenir. Premièrement, tout ensemble est un sous-ensemble de lui-même. Deuxièmement, l'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble, puisqu'il ne contient rien ; la règle n'est donc jamais enfreinte.

Parfois, un ensemble n'est pas un sous-ensemble d'un autre ensemble. Cela se produit lorsqu'au moins un élément du plus petit ensemble n'appartient pas au plus grand ensemble. Autrement dit, si un élément du premier ensemble est absent du second ensemble, alors le premier ensemble ne peut pas être considéré comme un sous-ensemble. Par exemple, si l'ensemble A est composé de un, deux et trois, et l'ensemble B de deux, trois et quatre, alors A n'est pas un sous-ensemble de B, car le nombre un est dans l'ensemble A mais pas dans l'ensemble B. En mathématiques, on exprime l'absence d'appartenance à un sous-ensemble à l'aide du symbole qui ressemble au signe de sous-ensemble barré d'une petite ligne. On l'écrit A ⊈ B, et cela signifie que A n'est pas un sous-ensemble de B.

Un ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément. On l'appelle également l'ensemble nul. Cela signifie qu'il s'agit d'un groupe, mais que ce groupe est complètement vide. Il n'y a rien à compter, rien à répertorier, et rien à l'intérieur. Nous représentons l'ensemble vide par le symbole ∅.

Par exemple, si l'on parle de l'ensemble des nombres entiers inférieurs à zéro, cet ensemble sera vide. Les nombres entiers sont zéro, un, deux, trois, et ainsi de suite. Comme aucun de ces nombres n'est inférieur à zéro, l'ensemble ne contient aucun élément. Un autre exemple est l'ensemble des carrés à trois côtés. Un carré a toujours quatre côtés, il ne peut donc pas exister de carré à trois côtés. Cela signifie que l'ensemble est vide.

L'ensemble vide est très utile en mathématiques car on peut parfois indiquer l'absence de réponse ou l'absence de réponse objectexiste dans une situation donnée. Par exemple, si l'on crée un ensemble d'élèves mesurant dix pieds dans une classe, cet ensemble sera vide car il n'existe aucun élève mesurant dix pieds. Si l'on construit un ensemble de nombres premiers entre huit et dix, cet ensemble sera également vide, car il n'y a pas de nombre premier dans cet intervalle.

Il arrive parfois que l'on confonde un ensemble vide et un ensemble contenant le nombre zéro. Un ensemble contenant le nombre zéro n'est pas vide, car le nombre zéro est en fait un élément de cet ensemble. Un ensemble vide ne contient aucun élément. C'est une différence très importante à retenir.

Dans les diagrammes, on peut représenter l'ensemble vide par un cercle sans rien à l'intérieur. Par exemple, si l'ensemble universel est constitué de tous les élèves d'une école, et que l'on crée un ensemble d'élèves capables de s'envoler comme des oiseaux, cet ensemble sera vide. Sur le diagramme de Venn, cela apparaîtra sous la forme d'un cercle, mais ce cercle ne contiendra aucun nom car aucun élève n'en est capable.