Les nombres - Séance 5

Avez-vous déjà dressé une liste de vos choses préférées, comme vos fruits ou vos jeux préférés ? En mathématiques, on appelle une telle liste un set. Un set est simplement un groupe d'éléments que l'on rassemble. Ces éléments sont appelés elements of the set. Par exemple, si nous créons un set de fruits, il peut comprendre une pomme, une mangue et une banane. Cela signifie que la pomme, la mangue et la banane font elements de cet set de fruits.

Parfois, nous voulons indiquer si un élément fait partie d'un set ou non. Au lieu d'écrire de longues phrases, nous utilisons des formes courtes. Si un nombre est dans un set, on dit qu'il appartient à l' set. S'il n'est pas dans l' set, on dit qu'il n'appartient pas à l' set. Cela rend notre travail plus facile et plus rapide à comprendre.

La manière d'écrire les ensembles est la suivante. Nous utilisons des accolades. Les accolades ressemblent à de petits bras incurvés. À l'intérieur des accolades, nous écrivons les elements of the set, séparés par des virgules. Par exemple, si nous voulons créer un set de fruits comprenant des pommes, des mangues et des bananes, nous l'écrivons entre accolades comme illustré. Cela nous indique très rapidement quels éléments appartiennent à cet set.

Imaginez maintenant que vous ayez un panier de jouets. Tu veux dire à ton ami quels jouets se trouvent dans le panier. Au lieu d'écrire un long récit, vous pouvez simplement dresser une courte liste. Cette forme abrégée d'écriture est appelée notation set. Un set est simplement un groupe d'éléments, et la notation set est la manière particulière dont nous écrivons ce groupe.

Par exemple, imaginons que votre panier contienne une voiture, un ballon et une poupée. On peut dire que l'ensemble A est le groupe composé de la voiture, du ballon et de la poupée. Nous écrirons la voiture, le ballon et la poupée, séparés par des virgules, entre accolades. Si votre panier contenait des chiffres, comme un, deux et trois, nous dirions que l'ensemble A est le groupe des nombres un, deux et trois. Nous écrirons donc un, deux et trois, séparés par des virgules, à l'intérieur des accolades.

Nous pouvons également créer des ensembles avec des nombres. Si nous voulons former l' set des trois premiers nombres entiers, nous l'écrivons un, deux, trois entre accolades. Si nous voulons représenter par C un set de nombres pairs inférieurs à dix, nous l'écrivons sous la forme deux, quatre, six et huit, séparés par des virgules, à l'intérieur des accolades. Vous voyez comme ça a l'air simple et propre ?.

Parlons maintenant de la manière dont un set peut interagir avec d'autres ensembles. Un Venn diagram est une représentation graphique qui nous aide à mieux comprendre les ensembles. Au lieu de se contenter d'écrire des ensembles avec des accolades, nous pouvons aussi les dessiner. Dans un Venn diagram, on dessine généralement des cercles. Chaque cercle représente un set, et les éléments contenus dans cet set sont inscrits à l'intérieur du cercle. Si deux ensembles ont des éléments en commun, les cercles se chevauchent, et nous écrivons les éléments communs dans la partie qui se chevauche.

Prenons un exemple. Supposons qu'un set soit l' set des fruits comprenant les pommes, les mangues et les bananes. Un autre set est également set des fruits, notamment la banane, l'orange et la mangue. Si nous représentons cela sous forme de Venn diagram, nous obtenons deux cercles. Le premier cercle contient des pommes, des mangues et des bananes. Le deuxième cercle contient des bananes, des oranges et des mangues. La mangue et la banane se trouvent dans les deux ensembles, elles doivent donc être placées au milieu, à l'intersection des deux cercles. Apple reste uniquement dans le premier cercle, et Orange uniquement dans le deuxième cercle. En observant l'image, on peut clairement voir ce qui appartient à chaque set et ce qu'ils ont en commun.

Essayons maintenant cela avec des ensembles de nombres naturels et de nombres premiers. Supposons que l'ensemble A soit constitué des nombres naturels jusqu'à dix. L'ensemble B est constitué de nombres premiers inférieurs à 15. Si vous dessinez le diagramme de Venn de ces deux ensembles, vous verrez que un, trois, cinq et sept sont des nombres communs aux deux ensembles. Elles seront donc inscrites dans la partie commune des deux cercles. Les autres numéros figureront dans leurs sections respectives.

Vous pouvez également représenter les multiples communs de deux nombres sous forme de diagrammes de Venn. Supposons que les multiples de deux soient deux, quatre, six, huit et dix. Appelons cet set ensemble A. Supposons maintenant que les multiples de trois soient trois, six et neuf. Nous pouvons appeler cet set l'ensemble B.

Représentez maintenant l'ensemble A et l'ensemble B dans un Venn diagram. Ensuite, cherchons à savoir s'il existe un multiple commun aux deux ensembles. Six est le multiple commun aux deux ensembles. Nous écrirons six éléments dans la partie commune des deux diagrammes de Venn. Les nombres restants sont inscrits dans leurs diagrammes de Venn respectifs.

Les diagrammes de Venn peuvent également représenter trois ensembles. Par exemple, un set pourrait être représenté par la lettre A et inclure des nombres tels que deux, quatre et six. Un autre set est représenté par la lettre B et comprend des nombres tels que quatre, six et huit. Un troisième set est représenté par la lettre C, qui comprend des nombres tels que six et dix.

Si l'on dessine trois cercles qui se chevauchent, le nombre six doit être placé au milieu, à l'intersection des trois cercles, car il est présent dans tous les ensembles. Le chiffre quatre doit être placé dans la zone de chevauchement entre les deux premiers cercles, car il leur est commun. Les chiffres deux, huit et dix seront chacun placés à leur place. Ainsi, le Venn diagram nous donne une image claire de la façon dont les ensembles sont liés.

Chaque set contient des objets. Ces choses sont appelées elements. Le nombre d' elements d'un set signifie simplement combien d'éléments composent cet set. Nous les comptons de la même manière que nous comptons les objets qui nous entourent. Par exemple, si nous formons un set de fruits avec des pommes, des mangues et des bananes, alors le nombre d' elements est de trois car il y a trois fruits dans le groupe. Si nous formons un set de nombres avec deux, quatre, six, huit et dix, alors le nombre d' elements est cinq car il y a cinq nombres dans le groupe.

Maintenant, comment représenter cela mathématiquement ? Nous utilisons la lettre -n devant le nom de setAlors, nous écrivons n(A) = 3pour indiquer que l'ensemble A comporte trois elements. Nous écrivons n(B) = 5pour indiquer que l'ensemble B comporte cinq elements.