Les nombres - Séance 4

Saviez-vous qu'il existe des nombres qui ne finissent jamais et ne forment jamais de motif, peu importe jusqu'où vous comptez leurs chiffres ? Les nombres irrationnels sont des nombres que l'on ne peut pas écrire sous forme de fraction simple, comme deux sur cinq ou sept sur huit. Autrement dit, vous ne pouvez pas les écrire sous la forme p sur q, où p et q sont des nombres entiers et q n'est pas nul. Leur forme décimale se poursuit indéfiniment sans répéter aucun motif fixe. Par exemple, la racine carrée de deux est environ 1,414, mais les chiffres continuent sans jamais se répéter de façon cyclique. C’est ce qui distingue les nombres irrationnels des nombres rationnels, qui peuvent soit s’arrêter, soit se répéter dans leur suite décimale.

Une façon simple de comprendre les nombres irrationnels est de les comparer aux nombres rationnels. Les nombres rationnels comprennent des fractions comme un sur deux, qui est zéro virgule cinq, ou un sur trois, qui est zéro virgule trois trois trois, se répétant à l'infini. Les nombres irrationnels sont différents car leur partie décimale est infinie et ne se répète jamais. Par exemple, la racine carrée de trois commence par 1,73205 et se poursuit indéfiniment.

Un autre nombre irrationnel très célèbre est pi, qui est utilisé dans presque tous les calculs impliquant des cercles. Pi commence par trois virgule un quatre un cinq, mais ses chiffres ne s'arrêtent jamais et ne se répètent jamais. Les mathématiciens ont calculé des milliards de décimales de pi, et pourtant, sa valeur continue de croître sans aucun schéma apparent.

Il y a aussi le chiffre e, qui commence par deux virgule sept un huit. Ce nombre apparaît dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences, notamment dans les problèmes de croissance et de décroissance, comme la croissance démographique ou les intérêts composés. En trigonométrie, domaine mathématique, certaines valeurs donnent des nombres irrationnels lorsqu'elles sont écrites sous forme décimale. Par exemple, le sinus de quarante-cinq degrés est irrationnel et ne peut pas être exprimé sous forme de fraction simple.

L'inverse d'un nombre est sa version inversée. Pour trouver l'inverse d'un nombre, il suffit d'inverser son numérateur et son dénominateur. Par exemple, l'inverse de deux sur trois est trois sur deux. Pour les nombres entiers, on peut considérer qu'ils ont un dénominateur égal à un. Donc, l'inverse de cinq est un sur cinq. Pouvez-vous calculer l'inverse de six sur sept ?.

Voici quelques exemples supplémentaires pour mieux comprendre les réciproques. L'inverse de un sur quatre est quatre sur un, soit simplement quatre. L'inverse de huit est un sur huit. L'inverse de moins trois sur sept est moins sept sur trois. L'inverse de zéro virgule cinq, qui est un sur deux, est deux.

Les nombres décimaux peuvent également avoir des inverses une fois qu'on les convertit en fractions. Par exemple, l'inverse de zéro virgule deux cinq est quatre, car zéro virgule deux cinq est un sur quatre et son inverse donne quatre sur un. L'inverse de 1,5 est 2/3 car 1,5 vaut 3/2 et inverser donne 2/3. De plus, les nombres décimaux qui se répètent après la virgule peuvent avoir des inverses une fois qu'on les a d'abord convertis en fractions.

Les inverses sont étroitement liés à la multiplication. Lorsqu'on multiplie un nombre par son inverse, le résultat est toujours égal à un. Par exemple, trois sur cinq multiplié par cinq sur trois égale un. Cela fonctionne pour les nombres positifs et négatifs, mais jamais pour zéro car zéro n'a pas d'inverse.

Les fractions permettent de visualiser facilement à quoi ressemble un inverse. Si vous partez de trois sur quatre, son inverse est quatre sur trois. Si vous partez de sept sur deux, son inverse est deux sur sept. Le processus est le même pour toutes les fractions propres, les fractions impropres et les nombres mixtes une fois que vous avez converti les nombres mixtes en fractions impropres.

Les nombres négatifs ont aussi des inverses, et le processus reste le même. Par exemple, l'inverse de moins deux sur cinq est moins cinq sur deux. Le signe négatif ou positif du nombre ne change pas lorsqu'on le retourne. Multiplier un nombre négatif par son inverse donne également un, car un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un nombre positif.

Les réciproques sont très importants dans la division. Lorsqu'on divise par une fraction, on multiplie par son inverse. Par exemple, diviser par deux sur trois revient à multiplier par trois sur deux. Il s'agit d'une règle fondamentale pour travailler avec les fractions en arithmétique et en algèbre.

Pour écrire un nombre en lettres, il faut commencer par le décomposer en groupes de trois chiffres, en commençant par la droite. Chaque groupe de trois chiffres représente un niveau de valeur. Le premier groupe comprend les unités, les dizaines et les centaines ; le deuxième groupe comprend les milliers, les dizaines de milliers et les centaines de milliers. Le groupe suivant est celui des millions, puis des milliards, et ainsi de suite. Cette méthode vous aide à lire les nombres de manière organisée et évite toute confusion lorsque le nombre comporte de nombreux chiffres. L'illustration montre comment le nombre représenté par trois-quatre-deux-trois-six-cinq est décomposé en unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers et centaines de milliers.

Prenons le nombre 4,572par exemple. Tout d'abord, regroupez les chiffres de droite en quatre et cinq cent soixante-douze. Le groupe cinq cent soixante-douze est lu tel quel. Le chiffre quatre se trouve à la position des milliers, donc on dit quatre mille. Mettez-les ensemble et vous obtenez quatre mille cinq cent soixante-douze. Pouvez-vous changer le numéro 87,664en mots ?.

Un autre exemple est le nombre 235,814. Premièrement, regroupez-le en deux cent trente-cinq et huit cent quatorze. Le nombre huit cent quatorze se lit exactement comme ça. Le chiffre deux cent trente-cinq se trouve à la place des milliers, donc on dit deux cent trente-cinq mille. Mettez-les ensemble et vous obtenez deux cent trente-cinq mille huit cent quatorze.

Si le nombre comporte une virgule décimale, énoncez d'abord le nombre entier, puis prononcez le signe et lisez chaque chiffre décimal séparément. Par exemple, 45.67devient quarante-cinq virgule six septPour convertir des mots en nombres, vérifiez d'abord s'il s'agit de dizaines, de centaines, de milliers, de dizaines de milliers ou de centaines de milliers, puis comptez les chiffres en conséquence. Ensuite, repérez d'abord la valeur la plus élevée et notez-la. Ajoutez ensuite les petites pièces aux endroits appropriés. Par exemple, deux mille trois cent dix-neuf est un nombre de milliers, il comporte donc 4 chiffres. Commencez par les deux mille, puis ajoutez les trois, puis dix-neuf à la fin, ce qui fait 2 319.