Les nombres - Séance 2

Supposons qu'il y ait deux ampoules. L'un clignote toutes les quatre secondes et l'autre toutes les six secondes. Pouvez-vous dire combien de fois ils cligneront des yeux simultanément en une minute ? Eh bien, pour répondre à cette question, il faut d'abord comprendre le concept de multiples communs. Commençons par comprendre ce qu'est un multiple. Un multiple est le résultat de la multiplication d'un nombre par un, deux, trois, etc. Par exemple, les multiples de trois sont trois, six, neuf, douze, quinze, et ainsi de suite. Si l'on prend un autre nombre comme quatre, ses multiples sont quatre, huit, douze, seize, vingt, et ainsi de suite. Ce sont tout simplement les tables de multiplication que vous apprenez à l'école.

Parlons maintenant des multiples communs. Ce sont des nombres qui apparaissent dans les deux listes de multiples. Revenons aux points trois et quatre. Les multiples de trois sont trois, six, neuf, douze, quinze, dix-huit et vingt et un. Les multiples de quatre sont quatre, huit, douze, seize et vingt. Vous pouvez constater que douze figure dans les deux listes, donc douze est un multiple commun de trois et de quatre.

Essayons une autre paire de nombres. Si l'on prend cinq et six, les multiples de cinq sont cinq, dix, quinze, vingt, vingt-cinq, trente, trente-cinq. Les multiples de six sont six, douze, dix-huit, vingt-quatre, trente, trente-six. Vous pouvez constater que le chiffre trente apparaît dans les deux listes. Donc, trente est un multiple commun de cinq et de six.

Certains nombres ont de nombreux multiples communs. Par exemple, prenons deux et quatre. Les multiples de deux sont deux, quatre, six, huit, dix, douze, quatorze, seize, et ainsi de suite. Les multiples de quatre sont quatre, huit, douze, seize, vingt, et ainsi de suite. Ainsi, quatre, huit, douze, seize, vingt et plus sont des multiples courants. Elles figurent dans les deux listes, nous les qualifions donc de communes.

Il n'est pas nécessaire de dresser une longue liste pour trouver un multiple commun. Par exemple, essayez six et huit. Les multiples de six sont six, douze, dix-huit et vingt-quatre. Les multiples de huit sont huit, seize et vingt-quatre. Vous pouvez vous arrêter à vingt-quatre car ce nombre figure dans les deux listes. Ainsi, vingt-quatre est un multiple commun de six et de huit.

Parlons du LCM, qui signifie Plus Petit Commun Multiple. Cela désigne le plus petit nombre que deux nombres ont en commun lorsqu'on énumère leurs multiples. Par exemple, si l'on prend quatre et cinq, les multiples de quatre sont quatre, huit, douze, seize, vingt, et ainsi de suite. Les multiples de cinq sont cinq, dix, quinze, vingt et vingt-cinq. Le premier nombre qui apparaît dans les deux listes est vingt, donc le plus petit commun multiple de quatre et cinq est vingt.

En voici une autre. Essayez quatre et six. Les multiples de quatre sont quatre, huit, douze, seize et vingt. Les multiples de six sont six, douze, dix-huit et vingt-quatre. Quel est le premier nombre dans les deux listes ? C'est exact, il y en a douze. Donc, le LCMQuatre et six font douze. Le LCMest utile lorsque vous souhaitez que des éléments correspondent ou se synchronisent. Par exemple, si un tambour bat toutes les quatre secondes et un autre toutes les six secondes, ils battront ensemble après douze secondes. Ces douze secondes représentent leur plus petit commun multiple.

Les multiples communs ne sont pas uniquement destinés à l'école. Ils sont également utiles dans la vie réelle. Imaginez deux lumières qui clignotent. L'une clignote toutes les quatre secondes, et l'autre toutes les six secondes. Pour savoir quand ils clignoteront ensemble, il faut trouver le multiple commun de quatre et six. Leur plus petit commun multiple est douze, ils clignent donc des yeux en même temps toutes les douze secondes. Cela montre comment des mathématiques simples peuvent résoudre des problèmes réels. Pouvez-vous me dire combien de fois ces lumières clignoteront ensemble en une minute ?.

Intéressons-nous maintenant aux nombres rationnels. Un nombre rationnel est un nombre que l'on peut écrire sous forme de fraction. Cela signifie que l'on peut l'écrire comme un nombre divisé par un autre, comme trois sur quatre ou cinq sur un. Les nombres entiers comme deux ou sept sont également rationnels car on peut les écrire sous la forme deux sur un ou sept sur un. Les nombres rationnels peuvent également être des nombres décimaux qui s'arrêtent ou se répètent, comme zéro virgule cinq ou zéro virgule trois trois trois.

Voici quelques exemples de nombres rationnels. La moitié est rationnelle car c'est une fraction. Quatre est rationnel car il est égal à quatre sur un. Zéro virgule soixante-quinze-cinq est rationnel car il est égal à trois sur quatre. Les nombres décimaux périodiques comme zéro virgule six six six sont également rationnels car ils suivent un modèle.

Vous serez peut-être surpris d'apprendre que les nombres entiers sont aussi des nombres rationnels. C'est parce qu'on peut écrire le nombre quatre comme quatre divisé par un. On peut écrire le nombre zéro comme zéro divisé par un. Les grands nombres, comme cent, peuvent également s'écrire sous forme de fraction. Tant que le dénominateur n'est pas nul, le nombre est rationnel.

Parlons maintenant des nombres décimaux. Certains nombres décimaux sont également rationnels. Si un nombre décimal s'arrête à la virgule, comme zéro virgule cinq ou zéro virgule deux cinq, alors il est rationnel. On les appelle décimales finies car elles ont une fin. On peut aussi les écrire sous forme de fractions, elles sont donc également rationnelles.

Certains nombres décimaux ne s'arrêtent pas, mais répètent sans cesse le même motif. Ce sont également des nombres rationnels. Par exemple, zéro virgule trois trois trois, avec des 3 à l'infini, est rationnel. Lorsque la partie répétitive est également plus longue, comme zéro virgule un quatre deux huit un quatre deux huit, c'est également rationnel tant qu'elle suit un modèle. Tous les nombres décimaux périodiques peuvent être convertis en fractions.

Une autre façon de vérifier si un nombre est rationnel consiste à se poser la question suivante : puis-je l'écrire sous forme de fraction où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers ? Si oui, alors c'est un nombre rationnel. Le dénominateur ne peut pas être zéro car la division par zéro est interdite en mathématiques. Donc, six divisé par quatre, ça va, mais six divisé par zéro, ça ne va pas. N'oubliez pas qu'un nombre rationnel doit respecter la règle d'être le rapport de deux nombres entiers.

En résumé, les nombres rationnels sont tous les nombres qui peuvent s'écrire de manière simple sous forme de fraction. Ils comprennent les nombres positifs, les nombres négatifs, les nombres entiers et les nombres décimaux qui s'arrêtent ou se répètent. Les nombres rationnels sont très courants et faciles à manipuler en mathématiques. Vous les verrez dans presque tous les aspects de vos travaux scolaires. Une fois qu'on sait les repérer, ils sont faciles à comprendre.