Les nombres - Séance 2

Vous êtes-vous déjà demandé ce qui se passe lorsqu'on multiplie un nombre par lui-même ? À votre avis, quel serait le résultat ?Les carrés parfaits sont les nombres que l'on obtient en multipliant un nombre par lui-même. Cela signifie que si vous prenez un nombre entier et que vous le multipliez par ce même nombre, le résultat est un carré parfait. Par exemple, si vous prenez le nombre deux et que vous le multipliez par deux, le résultat est quatre. De même, si vous multipliez trois par trois, le résultat est neuf. Ce schéma se répète avec d'autres nombres.

On peut considérer un nombre carré comme l'aire d'un carré. Si vous avez un carré dont le côté mesure quatre, l'aire de ce carré sera de seize car quatre multiplié par quatre égale seize. Cette idée nous aide à comprendre pourquoi ces nombres sont appelés nombres carrés.

Un autre concept important est celui des racines carrées. Une racine carrée est l'inverse d'un carré parfait. Par exemple, la racine carrée de seize est quatre, car quatre multiplié par quatre donne seize. La racine carrée nous permet de découvrir quel nombre a été multiplié par lui-même pour obtenir un carré parfait. Il s'agit d'une notion importante en mathématiques, utilisée pour résoudre des problèmes impliquant des carrés ou des aires.

Les cubes sont des nombres obtenus en multipliant un nombre par lui-même trois fois. Par exemple, si vous prenez le nombre deux et que vous le multipliez par lui-même trois fois, vous obtenez huit. En effet, deux multipliés par deux font quatre, et quatre multipliés par deux donnent huitDe même, si vous prenez trois et que vous le multipliez par lui-même trois fois, vous obtenez vingt-sept. Ainsi, les nombres cubiques sont le résultat de la multiplication d'un nombre par lui-même trois fois.

Tout comme les nombres carrés, les nombres cubiques peuvent être compris en pensant aux formes. Imaginez un cube, une forme tridimensionnelle. Si chaque côté du cube mesure trois unités de long, le volume du cube serait le résultat de la multiplication de trois par trois par trois. Cela nous donne le nombre vingt-sept, qui est le volume du cube en unités cubiques. C’est pourquoi on les appelle nombres cubiques, car ils représentent le volume d’un cube dont tous les côtés sont égaux.

Un autre concept intéressant lié aux nombres cubiques est celui des racines cubiques. De même que les racines carrées sont l'opposé des nombres carrés, les racines cubiques sont l'opposé des nombres cubiques. La racine cubique de huit est deux, car deux multiplié par lui-même trois fois est égal à huit. Les racines cubiques sont utiles lorsqu'on a besoin de retrouver le nombre d'origine qui a été élevé au cube.

Les facteurs sont simplement les nombres qui divisent un nombre donné sans reste. Pour clarifier, imaginez que vous ayez un nombre, disons douze. Les facteurs de douze sont tous les nombres dont le produit est égal à douze. Ces facteurs comprennent un, deux, trois, quatre, six et douze lui-même.

Cela signifie que si vous prenez un et que vous le multipliez par douze, ou deux et que vous le multipliez par six, ou trois et que vous le multipliez par quatre, vous obtiendrez toujours douze. En résumé, les facteurs permettent de décomposer un nombre en éléments plus petits et plus faciles à gérer. Ce sont les éléments constitutifs de base de tout nombre.

Pour mieux comprendre, imaginez les facteurs comme une division d'un groupe d'objets. Supposons que vous ayez douze pommes et que vous souhaitiez les répartir en groupes plus petits. Le chiffre un est toujours un facteur de n'importe quel nombre car on peut diviser n'importe quel nombre par un. De même, douze pommes peuvent être divisées en six groupes de deux pommes chacun, ou en quatre groupes de trois pommes chacun, ou en deux groupes de six pommes chacun, ou en trois groupes de quatre pommes chacun. Les facteurs nous aident à comprendre la structure d'un nombre en nous montrant quels nombres peuvent le diviser sans reste. C'est comme découvrir qui peut en tirer des groupes de même taille.

Les facteurs communs sont les facteurs que deux nombres ou plus partagent. En d'autres termes, si vous comparez deux nombres, les facteurs communs sont les nombres qui divisent exactement ces deux nombres. Prenons l'exemple de douze et dix-huit ans. Pour trouver les facteurs communs, on commence par énumérer les facteurs de douze, qui sont un, deux, trois, quatre, six et douze. Ensuite, vous énumérez les facteurs de dix-huit, qui sont un, deux, trois, six, neuf et dix-huit. Les facteurs communs entre douze et dix-huit sont un, deux, trois et six. Ces nombres sont des facteurs à la fois de douze et de dix-huit.

On vous donne maintenant les nombres vingt et trente. Pouvez-vous trouver leurs points communs ? La première chose à faire est de trouver les facteurs de chaque nombre. Pour le nombre vingt, on commence par examiner tous les nombres qui divisent vingt exactement, c'est-à-dire sans laisser de reste. Ces facteurs sont un, deux, quatre, cinq, dix et vingt. Voici tous les nombres qui, multipliés deux à deux, donnent vingt. Par exemple, un fois vingt égale vingt, deux fois dix égale vingt, et ainsi de suite.

Ensuite, faisons de même pour le nombre trente. Les diviseurs de trente sont un, deux, trois, cinq, six, dix, quinze et trente. Ces nombres sont des diviseurs exacts de trente. Par exemple, un fois trente égale trente, deux fois quinze égale trente, et ainsi de suite. Pour trouver les facteurs communs, il faut maintenant comparer les deux listes de facteurs. Vous recherchez les nombres qui apparaissent dans les deux listes. Si vous comparez les facteurs de vingt et de trente, vous constaterez que les nombres un, deux, cinq et dix apparaissent dans les deux listes. Voici les facteurs communs à vingt et trente.

Le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui divise exactement deux nombres ou plus sans laisser de reste. C'est une méthode pour trouver le plus grand facteur commun à deux nombres. Par exemple, si l'on vous donne les nombres vingt-quatre et trente-six, vous commencerez par identifier tous les facteurs de chaque nombre.

Pour trouver les facteurs de vingt-quatre, il faut commencer par lister tous les nombres qui divisent vingt-quatre sans reste. Ce sont un, deux, trois, quatre, six, huit, douze et vingt-quatre. Ce sont les facteurs de vingt-quatre car on peut les multiplier par d'autres nombres pour obtenir vingt-quatre. Par exemple, un multiplié par vingt-quatre égale vingt-quatre, et deux multiplié par douze égale vingt-quatre.

Ensuite, vous faites la même chose pour trente-six. Les facteurs de trente-six sont un, deux, trois, quatre, six, neuf, douze, dix-huit et trente-six. Voici tous les nombres qui divisent trente-six sans restePour trouver le plus grand commun diviseur, il faut examiner les deux ensembles de facteurs et repérer les nombres qui sont identiques dans les deux ensembles. Dans ce cas, les nombres communs aux deux listes sont un, deux, trois, six et douze. La plus grande d'entre elles compte douze ans. Le plus grand commun diviseur de vingt-quatre et trente-six est donc douze. Pouvez-vous déterminer le plus grand commun diviseur de vingt-cinq et cinquante ?