Números - Sesión 6

En matemáticas, un conjunto universal significa el conjunto más grande en un problema. Contiene todos los temas que estamos estudiando en ese momentoCada conjunto más pequeño que fabriquemos debe provenir de este conjunto universal. Puedes imaginarlo como una caja grande que contiene todo de lo que estamos hablando, y dentro de la caja podemos sacar grupos más pequeños. El conjunto universal se suele escribir con la letra U.

Por ejemplo, si trabajamos con números del uno al diez, el conjunto universal es el grupo de todos los números del uno al diez. A partir de este grupo principal, podemos formar grupos más pequeños. Un grupo más pequeño podría ser el de los números pares del uno al diez, que son dos, cuatro, seis, ocho y diez. Otro grupo más pequeño podrían ser los números impares del uno al diez, que son el uno, el tres, el cinco, el siete y el nueve. Ambos grupos más pequeños forman parte del conjunto universal porque todos provienen de los números del uno al diez.

Si estamos estudiando figuras geométricas, entonces el conjunto universal podría incluir todas las figuras que estamos observando, como el círculo, el cuadrado, el triángulo y el rectángulo. A partir de este conjunto universal, podemos formar grupos más pequeños. Un grupo podría ser el de figuras con lados rectos, como el cuadrado, el rectángulo y el triángulo. Otro grupo podrían ser las figuras con lados curvos, como el círculo.

El conjunto universal también puede ser muy grande. Por ejemplo, si decimos que el conjunto universal son todos los seres vivos, entonces incluirá a los humanos, los animales, las plantas y los árboles. A partir de esto, podemos crear conjuntos más pequeños, como animales o plantas. Otro ejemplo muy importante es cuando decimos que el conjunto universal son todos los números naturales, lo que significa los números que empiezan por uno y continúan indefinidamente. A partir de este conjunto, podemos formar grupos más pequeños, como por ejemplo, todos los números pares o todos los números impares.

En los diagramas de Venn, el conjunto universal se representa como un rectángulo grande. Dentro del rectángulo dibujamos círculos para conjuntos más pequeños. Si el conjunto universal son todos los estudiantes de una clase, entonces un círculo podría estar formado por los estudiantes a los que les gusta el fútbol, ​​otro círculo por los estudiantes a los que les gusta el críquet y un tercer círculo por los estudiantes a los que les gusta la natación. El rectángulo muestra a toda la clase, incluidos los alumnos que no caben en ninguno de los círculos.

Un subconjunto es un conjunto más pequeño que proviene de un conjunto más grande. Si todos los elementos de un conjunto también se encuentran dentro de otro conjunto, entonces el primer conjunto se denomina subconjunto del segundo conjunto. Esto demuestra que los subconjuntos siempre forman parte de un grupo más grandePor ejemplo, si nuestro conjunto universal son los números del uno al diez, entonces el conjunto de los números pares entre uno y diez es un subconjunto del conjunto universal, porque todos estos números provienen del uno al diez. Del mismo modo, el conjunto de los números impares entre uno y diez también es un subconjunto del conjunto universal. Ambos conjuntos más pequeños caben completamente dentro del conjunto más grande.

Cuando dibujamos diagramas de Venn, podemos indicar los subconjuntos como un círculo completamente dentro de otro círculo. Por ejemplo, si el conjunto universal son todas las frutas, y un conjunto más pequeño son las frutas tropicales como el mango y la piña, entonces el círculo de frutas tropicales cabrá completamente dentro del círculo más grande de todas las frutas. Esto demuestra claramente que el conjunto más pequeño es un subconjunto del conjunto más grande.

Para indicar esto en matemáticas, utilizamos un símbolo especial. Lo escribimos como A ⊆ B y lo leemos como A es un subconjunto de B. Esto significa que cada elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto B. Por ejemplo, si A es el conjunto de números pares como dos, cuatro y seis, y B es el conjunto uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis, entonces podemos escribir A ⊆ B. Esto demuestra que todos los números del conjunto A ya se encuentran en el conjunto B. Supongamos que el conjunto A contiene todos los números impares y el conjunto B contiene todos los números primos. ¿Puedes determinar si el conjunto B es un subconjunto del conjunto A o no?.

Hay dos reglas especiales que siempre debes recordar. En primer lugar, cada conjunto es un subconjunto de sí mismo. En segundo lugar, el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, porque no contiene nada, por lo que la regla nunca se rompe.

A veces, un conjunto no es un subconjunto de otro conjunto. Esto ocurre cuando al menos un elemento del conjunto más pequeño no pertenece al conjunto más grande. En otras palabras, si un elemento del primer conjunto no está presente en el segundo conjunto, entonces el primer conjunto no puede considerarse un subconjunto. Por ejemplo, si el conjunto A es uno, dos y tres, y el conjunto B es dos, tres y cuatro, entonces A no es un subconjunto de B, porque el número uno está en el conjunto A pero no en el conjunto B. En matemáticas, expresamos que algo no es un subconjunto usando el símbolo que se parece a un signo de subconjunto con una pequeña línea que lo atraviesa. Lo escribimos como A ⊈ B, y significa que A no es un subconjunto de B.

Un conjunto vacío es un conjunto que no contiene ningún elemento. También se le denomina conjunto nulo. Esto significa que es un grupo, pero el grupo está completamente vacío. No hay nada que contar, nada que enumerar y nada dentro. Representamos el conjunto vacío mediante el símbolo ∅.

Por ejemplo, si hablamos del conjunto de números enteros menores que cero, ese conjunto estará vacío. Los números enteros son cero, uno, dos, tres, y así sucesivamente. Dado que ninguno de ellos es menor que cero, el conjunto no tiene ningún elemento. Otro ejemplo es el conjunto de cuadrados con tres lados. Un cuadrado siempre tiene cuatro lados, por lo que no puede haber un cuadrado con tres lados. Eso significa que el conjunto está vacío.

El conjunto vacío es muy útil en matemáticas porque a veces queremos indicar que no hay respuesta o no objectexiste en una situación determinada. Por ejemplo, si creamos un grupo de estudiantes en una clase que midan diez pies de altura, el grupo estará vacío porque no hay estudiantes que midan diez pies de altura. Si creamos un conjunto de números primos entre ocho y diez, el conjunto también estará vacío, porque no hay ningún número primo en ese rango.

A veces, podemos confundir un conjunto vacío con un conjunto que contiene el número cero. Un conjunto que contiene el número cero no está vacío, porque el número cero es en realidad un elemento de ese conjunto. Un conjunto vacío no tiene ningún elemento. Esta es una diferencia muy importante que conviene recordar.

En los diagramas, podemos indicar el conjunto vacío como un círculo sin nada en su interior. Por ejemplo, si el conjunto universal es el de todos los estudiantes de una escuela, y creamos un conjunto de estudiantes que pueden volar como pájaros, ese conjunto estará vacío. En el diagrama de Venn, aparecerá como un círculo, pero el círculo no tiene nombres en su interior porque ningún estudiante tiene esa habilidad.