Números - Sesión 5

¿Alguna vez has hecho una lista de tus cosas favoritas, como tus frutas o juegos favoritos? En matemáticas, a dicha lista la llamamos set. Un set es simplemente un grupo de cosas que juntamos. Estas cosas se llaman elements of the set. Por ejemplo, si hacemos un set de frutas, puede incluir una manzana, un mango y un plátano. Esto significa que la manzana, el mango y el plátano son elements de este set de frutas.

A veces queremos indicar si algo está dentro de un set o no. En lugar de escribir oraciones largas, utilizamos formas cortas. Si un número está en un set, decimos que pertenece al set. Si no está en el set, decimos que no pertenece al set. Esto hace que nuestro trabajo sea más fácil y rápido de entender.

La forma de escribir conjuntos es así. Usamos llaves. Las llaves parecen pequeños brazos curvos. Dentro de las llaves escribimos los elements of the set, separados por comas. Por ejemplo, si queremos hacer un set de frutas que tenga manzana, mango y plátano, lo escribimos dentro de llaves como se ilustra. Esto nos dice muy rápidamente qué cosas pertenecen a ese set.

Ahora imagina que tienes una canasta de juguetes. Quieres decirle a tu amigo qué juguetes hay dentro de la canasta. En lugar de escribir una historia larga, puedes simplemente hacer una lista corta. Esta forma corta de escritura se llama notación de set. Un set es simplemente un grupo de cosas, y la notación de set es la forma especial en que escribimos ese grupo.

Por ejemplo, digamos que tu cesta tiene un coche, una pelota y una muñeca. Podemos decir que el conjunto A es el grupo del coche, la pelota y la muñeca. Escribiremos el coche, la pelota y la muñeca, separados por comas, dentro de llaves. Si su cesta tuviera números, como uno, dos y tres, diríamos que el conjunto A es el grupo de los números uno, dos y tres. Entonces, escribiremos uno, dos y tres, separados por comas, dentro de las llaves.

También podemos hacer conjuntos con números. Si queremos hacer un set de los tres primeros números contables, lo escribimos como uno, dos, tres dentro de las llaves. Si queremos hacer un set de números pares menores que diez representados por C, lo escribimos como dos, cuatro, seis y ocho, separados por comas, dentro de las llaves. ¡Mira qué ordenado y fácil se ve!.

Ahora hablemos de cómo un set puede interactuar con otros conjuntos. Un Venn diagram es una imagen que nos ayuda a comprender mejor los conjuntos. En lugar de sólo escribir conjuntos con llaves, también podemos dibujarlos. En un Venn diagram, generalmente dibujamos círculos. Cada círculo representa un set, y las cosas dentro de ese set están escritas dentro del círculo. Si dos conjuntos tienen algunas cosas en común, los círculos se superponen y escribimos las cosas comunes en la parte superpuesta.

Vamos a probar un ejemplo. Supongamos que un set es el set de frutas que incluye manzana, mango y plátano. Otro set es también el set de frutas que incluye plátano, naranja y mango. Si dibujamos esto como un Venn diagram, hacemos dos círculos. El primer círculo tiene manzana, mango y plátano. El segundo círculo tiene plátano, naranja y mango. Ahora, el mango y el plátano están en ambos conjuntos, por lo que deben colocarse en el medio donde los dos círculos se superponen. La manzana se queda sólo en el primer círculo, y la naranja se queda sólo en el segundo círculo. Mirando la imagen podemos ver claramente qué pertenece a cada set y qué tienen en común.

Ahora probemos esto con conjuntos de números naturales y números primos. Digamos que el conjunto A está formado por números naturales hasta diez. El conjunto B es de números primos anteriores al 15. Si dibuja el diagrama de Venn de estos dos conjuntos, verá que uno, tres, cinco y siete son números comunes en ambos conjuntos. Entonces, se escribirán en la sección superpuesta de ambos círculos. Los demás números estarán en sus respectivas secciones individuales.

También puedes representar múltiplos comunes de dos números en forma de diagramas de Venn. Digamos que los múltiplos de dos son dos, cuatro, seis, ocho y diez. A este set lo llamaremos conjunto-A. Ahora supongamos que los múltiplos de tres son tres, seis y nueve. A este set lo podemos llamar conjunto-B.

Ahora represente el conjunto A y el conjunto B en un Venn diagram. A continuación, busquemos si hay algún múltiplo común en ambos conjuntos. Seis es el múltiplo común en ambos conjuntos. Escribiremos seis en la sección superpuesta de ambos diagramas de Venn. Los números restantes están escritos en sus respectivos diagramas de Venn.

Los diagramas de Venn también pueden representar tres conjuntos. Por ejemplo, un set podría representarse con la letra A, que incluye números como dos, cuatro y seis. Otro set está representado por la letra B, que incluye números como cuatro, seis y ocho. Un tercer set está representado por la letra C, que incluye números como el seis y el diez.

Si dibujamos tres círculos que se superponen, el número seis debe colocarse en el medio donde se encuentran los tres círculos, porque está en todos los conjuntos. El número cuatro debe colocarse en la superposición entre los dos primeros círculos, porque es común a ellos. Los números dos, ocho y diez se colocarán cada uno en su propio lugar. De esta manera, el Venn diagram nos da una imagen clara de cómo se conectan los conjuntos.

Cada set tiene cosas dentro. Estas cosas se llaman elements. El número de elements de un set significa simplemente cuántas cosas hay en ese set. Los contamos de la misma manera que contamos los objetos que nos rodean. Por ejemplo, si hacemos un set de frutas con manzana, mango y plátano, entonces el número de elements es tres porque hay tres frutas en el grupo. Si hacemos un set de números con dos, cuatro, seis, ocho y diez, entonces el número de elements es cinco porque hay cinco números en el grupo.

Ahora bien, ¿cómo representamos esto en matemáticas? Usamos la letra -n delante del nombre del setEntonces escribimos n(A) = 3para indicar que el conjunto A tiene tres elements. Nosotros escribimos n(B) = 5para indicar que el conjunto B tiene cinco elements.