Números - Sesión 4

¿Sabías que hay números que nunca terminan ni forman un patrón, sin importar cuánto sigas contando sus dígitos? Los números irracionales son números que no podemos escribir como una fracción simple, como dos sobre cinco o siete sobre ocho. En otras palabras, no puedes escribirlos como p sobre q, donde p y q son números enteros y q no es cero. Su forma decimal continúa indefinidamente sin repetir ningún patrón fijo. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es aproximadamente uno punto cuatro uno cuatro, pero los dígitos continúan sin repetirse nunca en un ciclo. Esto hace que los números irracionales sean diferentes de los números racionales, que pueden detenerse o repetirse en sus decimales.

Una manera fácil de entender los números irracionales es compararlos con los números racionales. Los números racionales incluyen fracciones como uno sobre dos, que es cero punto cinco, o uno sobre tres, que es cero punto tres tres tres y se repite eternamente. Los números irracionales son diferentes porque su parte decimal nunca termina y nunca se repite. Por ejemplo, la raíz cuadrada de tres comienza con uno punto siete tres dos cero cinco y continúa infinitamente.

Otro número irracional muy famoso es pi, que se utiliza en casi todos los cálculos que involucran círculos. Pi comienza con tres punto uno cuatro uno cinco, pero sus dígitos nunca se detienen ni se repiten. Los matemáticos han calculado miles de millones de dígitos de pi, pero el número sigue sin seguir ningún patrón.

También está el número e, que empieza con dos punto siete uno ocho. Este número aparece en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia, especialmente en problemas sobre crecimiento y decrecimiento, como el crecimiento poblacional o el interés compuesto. En el campo de estudio matemático de la trigonometría, algunos valores dan números irracionales cuando se escriben como decimales. Por ejemplo, el seno de cuarenta y cinco grados es irracional y no se puede expresar como una fracción simple.

Un recíproco es la versión invertida de un número. Para encontrar el recíproco de un número, intercambias su numerador y denominador. Por ejemplo, el recíproco de dos sobre tres es tres sobre dos. Para los números enteros, puedes pensar que tienen un denominador de uno. Entonces, el recíproco de cinco es uno sobre cinco. ¿Puedes decir el recíproco de seis sobre siete?.

A continuación se muestran algunos ejemplos más para comprender mejor los recíprocos. El recíproco de uno sobre cuatro es cuatro sobre uno, que es simplemente cuatro. El recíproco de ocho es uno sobre ocho. El recíproco de menos tres sobre siete es menos siete sobre tres. El recíproco de cero punto cinco, que es uno sobre dos, es dos.

Los decimales también pueden tener recíprocos una vez que los convertimos en fracciones. Por ejemplo, el recíproco de cero punto dos cinco es cuatro porque cero punto dos cinco es uno sobre cuatro y al invertirlo da cuatro sobre uno. El recíproco de uno punto cinco es dos sobre tres porque uno punto cinco es tres sobre dos y al invertirlo se obtiene dos sobre tres. Además, los decimales que se repiten después del punto pueden tener recíprocos una vez que los conviertes en fracciones primero.

Los recíprocos están estrechamente vinculados a la multiplicación. Cuando multiplicas un número por su recíproco, el resultado siempre es uno. Por ejemplo, tres sobre cinco multiplicado por cinco sobre tres es igual a uno. Esto funciona para números positivos y negativos, pero nunca funciona para el cero porque el cero no tiene recíproco.

Las fracciones permiten ver fácilmente cómo se ve un recíproco. Si empiezas con tres sobre cuatro, su recíproco es cuatro sobre tres. Si empiezas con siete sobre dos, su recíproco es dos sobre siete. El proceso es el mismo para todas las fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos una vez que primero conviertes los números mixtos en fracciones impropias.

Los números negativos también tienen recíprocos y el proceso sigue siendo el mismo. Por ejemplo, el recíproco de menos dos sobre cinco es menos cinco sobre dos. El signo negativo o positivo del número no cambia cuando lo inviertes. Multiplicar un número negativo por su recíproco también da uno, porque un negativo multiplicado por un negativo da un positivo.

Los recíprocos son muy importantes en la división. Cuando dividimos una fracción, multiplicamos por su recíproco. Por ejemplo, dividir por dos sobre tres es lo mismo que multiplicar por tres sobre dos. Esta es una regla clave para trabajar con fracciones tanto en aritmética como en álgebra.

Para convertir un número en palabras, debes comenzar dividiendo el número en grupos de tres dígitos, comenzando desde el lado derecho. Cada grupo de tres dígitos representa un nivel de valor. El primer grupo es el de las unidades, decenas y centenas; el segundo grupo es el de los millares, decenas de millar y centenas de millar. El siguiente grupo es el de los millones, luego el de los miles de millones y así sucesivamente. Este método le ayuda a leer números de forma organizada y evita confusiones cuando el número tiene muchos dígitos. La ilustración muestra cómo el número representado por tres-cuatro-dos-tres-seis-cinco se descompone en unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar y centenas de millar.

Tomemos el número 4,572como ejemplo. Primero, agrupa los dígitos del lado derecho como cuatrocientos quinientos setenta y dos. El grupo quinientos setenta y dos se lee tal como está. El grupo cuatro está en el lugar de los miles, por eso se dice cuatro mil. Júntalos y obtendrás cuatro mil quinientos setenta y dos. ¿Puedes cambiar el número? 87,664¿en palabras?.

Otro ejemplo es el número 235,814. Primero, agrúpelo como doscientos treinta y cinco y ochocientos catorce. El número ochocientos catorce se lee exactamente así. El doscientos treinta y cinco está en el lugar de los millares, así que dices doscientos treinta y cinco mil. Júntalos y tendrás doscientos treinta y cinco mil ochocientos catorce.

Si el número tiene un punto decimal, diga primero el número entero, luego diga el punto y lea cada dígito decimal por separado. Por ejemplo, 45.67se convierte en cuarenta y cinco punto seis sietePara convertir palabras en números, primero verifique si están en decenas, centenas, millares, decenas de millar o centenas de millar y cuente los dígitos de acuerdo a ello. Luego, escuche primero el valor más grande y escríbalo. Luego añade las partes más pequeñas en los lugares correctos. Por ejemplo, dos mil trescientos diecinueve está en miles, por lo que tiene 4 dígitos. Comience con dos mil, luego agregue tres, luego diecinueve al final, lo que da 2,319.