الأرقام - الجلسة 6

في الرياضيات، تعني المجموعة الشاملة أكبر مجموعة في مسألة ما. يحتوي على جميع العناصر التي ندرسها في تلك اللحظةيجب أن تأتي كل مجموعة أصغر نصنعها من هذه المجموعة الشاملة. يمكنك أن تتخيل الأمر كصندوق كبير يحتوي على كل ما نتحدث عنه، وداخل الصندوق يمكننا إخراج مجموعات أصغر. عادةً ما تُكتب المجموعة الشاملة بالحرف U.

على سبيل المثال، إذا كنا نعمل مع الأرقام من واحد إلى عشرة، فإن المجموعة الشاملة هي مجموعة جميع الأرقام من واحد إلى عشرة. من هذه المجموعة الرئيسية، يمكننا تشكيل مجموعات أصغر. ويمكن أن تكون إحدى المجموعات الأصغر هي الأعداد الزوجية من واحد إلى عشرة، وهي اثنان وأربعة وستة وثمانية وعشرة. ويمكن أن تكون مجموعة أصغر أخرى هي الأعداد الفردية بين واحد وعشرة، وهي واحد وثلاثة وخمسة وسبعة وتسعة. كلتا هاتين المجموعتين الأصغر حجماً جزء من المجموعة الشاملة لأنهما جميعاً تأتيان من الأرقام من واحد إلى عشرة.

إذا كنا ندرس الأشكال، فإن المجموعة الشاملة يمكن أن تشمل جميع الأشكال التي ننظر إليها، مثل الدائرة والمربع والمثلث والمستطيل. انطلاقاً من هذه المجموعة الشاملة، يمكننا تكوين مجموعات أصغر. قد تكون إحدى المجموعات أشكالاً ذات جوانب مستقيمة، مثل المربع والمستطيل والمثلث. قد تكون مجموعة أخرى أشكالاً ذات جوانب منحنية، مثل الدائرة.

يمكن أن تكون المجموعة الشاملة كبيرة جدًا أيضًا. على سبيل المثال، إذا قلنا أن المجموعة الشاملة هي جميع الكائنات الحية، فإنها ستشمل البشر والحيوانات والنباتات والأشجار. ومن هذا، يمكننا تكوين مجموعات أصغر، مثل الحيوانات أو النباتات. مثال آخر كبير جدًا هو عندما نقول إن المجموعة الشاملة هي جميع الأعداد الطبيعية، مما يعني أعداد العد التي تبدأ من واحد وتستمر بلا نهاية. من هذه المجموعة، يمكننا تكوين مجموعات أصغر مثل جميع الأعداد الزوجية أو جميع الأعداد الفردية.

في مخططات فين، يتم تمثيل المجموعة الشاملة على شكل مستطيل كبير. نرسم داخل المستطيل دوائر للمجموعات الأصغر. إذا كانت المجموعة الشاملة هي جميع الطلاب في الفصل، فقد تكون إحدى الدوائر هي الطلاب الذين يحبون كرة القدم، وقد تكون دائرة أخرى هي الطلاب الذين يحبون الكريكيت، وقد تكون دائرة ثالثة هي الطلاب الذين يحبون السباحة. يُظهر المستطيل الفصل بأكمله، بما في ذلك الطلاب الذين لا يندرجون ضمن أي من الدوائر.

المجموعة الجزئية تعني مجموعة أصغر تأتي من مجموعة أكبر. إذا كان كل عنصر في مجموعة ما موجودًا أيضًا داخل مجموعة أخرى، فإن المجموعة الأولى تسمى مجموعة جزئية من المجموعة الثانية. هذا يدل على أن المجموعات الفرعية هي دائماً جزء من مجموعة أكبرعلى سبيل المثال، إذا كانت مجموعتنا الشاملة هي الأرقام من واحد إلى عشرة، فإن مجموعة الأرقام الزوجية بين واحد إلى عشرة هي مجموعة جزئية من المجموعة الشاملة، لأن كل هذه الأرقام تأتي من واحد إلى عشرة. وبالمثل، فإن مجموعة الأعداد الفردية بين واحد وعشرة هي أيضًا مجموعة جزئية من المجموعة الشاملة. تتناسب كلتا المجموعتين الصغيرتين تمامًا داخل المجموعة الأكبر.

عندما نرسم مخططات فين، يمكننا الإشارة إلى المجموعات الفرعية كدائرة داخل دائرة أخرى تمامًا. على سبيل المثال، إذا كانت المجموعة الشاملة هي جميع الفواكه، ومجموعة أصغر هي الفواكه الاستوائية مثل المانجو والأناناس، فإن دائرة الفواكه الاستوائية ستناسب تمامًا داخل الدائرة الأكبر لجميع الفواكه. وهذا يوضح بوضوح أن المجموعة الأصغر هي مجموعة جزئية من المجموعة الأكبر.

وللإشارة إلى ذلك في الرياضيات، نستخدم رمزًا خاصًا. نكتبها على النحو A ⊆ B ونقرأها على النحو A is a subset of B. هذا يعني أن كل عنصر من عناصر المجموعة أ هو أيضاً عنصر من عناصر المجموعة ب. على سبيل المثال، إذا كانت A هي مجموعة الأعداد الزوجية مثل اثنين وأربعة وستة، وB هي مجموعة واحد واثنين وثلاثة وأربعة وخمسة وستة، فيمكننا كتابة A ⊆ B. هذا يدل على أن جميع الأرقام في المجموعة أ موجودة بالفعل في المجموعة ب. لنفترض أن المجموعة أ تحتوي على جميع الأعداد الفردية، والمجموعة ب تحتوي على جميع الأعداد الأولية. هل يمكنك تحديد ما إذا كانت المجموعة B مجموعة جزئية من المجموعة A أم لا؟.

هناك قاعدتان خاصتان يجب عليك تذكرهما دائمًا. أولاً، كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها. ثانياً، المجموعة الفارغة هي مجموعة جزئية من كل مجموعة، لأنها لا تحتوي على شيء بداخلها، لذلك لا يتم كسر القاعدة أبداً.

في بعض الأحيان، لا تكون مجموعة ما مجموعة جزئية من مجموعة أخرى. يحدث هذا عندما لا ينتمي عنصر واحد على الأقل في المجموعة الأصغر إلى المجموعة الأكبر. بمعنى آخر، إذا كان أحد عناصر المجموعة الأولى مفقودًا من المجموعة الثانية، فلا يمكن تسمية المجموعة الأولى بمجموعة فرعية. على سبيل المثال، إذا كانت المجموعة أ هي واحد واثنان وثلاثة، والمجموعة ب هي اثنان وثلاثة وأربعة، فإن أ ليست مجموعة جزئية من ب، لأن الرقم واحد موجود في المجموعة أ ولكنه ليس موجودًا في المجموعة ب. في الرياضيات، نعبر عن عدم وجود مجموعة جزئية باستخدام الرمز الذي يشبه علامة المجموعة الجزئية مع وجود خط صغير يمر عبرها. نكتبها على النحو التالي: A ⊈ B، وهذا يعني أن A ليست مجموعة جزئية من B.

المجموعة الفارغة هي مجموعة لا تحتوي على أي عناصر بداخلها. وتسمى أيضاً المجموعة الفارغة. هذا يعني أنها مجموعة، لكن المجموعة فارغة تمامًا. لا يوجد شيء يمكن عده، ولا شيء يمكن سرده، ولا شيء في الداخل. نمثل المجموعة الفارغة بالرمز ∅.

على سبيل المثال، إذا تحدثنا عن مجموعة الأعداد الصحيحة الأقل من الصفر، فإن هذه المجموعة ستكون فارغة. الأعداد الصحيحة هي صفر، واحد، اثنان، ثلاثة، وهكذا. بما أن أياً منها ليس أقل من الصفر، فإن المجموعة لا تحتوي على أي عناصر على الإطلاق. مثال آخر هو مجموعة المربعات ذات الثلاثة جوانب. المربع له أربعة جوانب دائماً، لذلك لا يمكن أن يكون هناك مربع بثلاثة جوانب. هذا يعني أن المجموعة فارغة.

تُعد المجموعة الفارغة مفيدة جدًا في الرياضيات لأننا أحيانًا نريد الإشارة إلى عدم وجود إجابة أو عدم وجود حل objectموجود في موقف معين. على سبيل المثال، إذا قمنا بتكوين مجموعة من الطلاب في فصل دراسي يبلغ طولهم عشرة أقدام، فستكون المجموعة فارغة لأنه لا يوجد طلاب يبلغ طولهم عشرة أقدام. إذا قمنا بإنشاء مجموعة من الأعداد الأولية بين ثمانية وعشرة، فستكون المجموعة فارغة أيضًا، لأنه لا يوجد عدد أولي في هذا النطاق.

في بعض الأحيان، قد نخلط بين المجموعة الفارغة والمجموعة التي تحتوي على الرقم صفر. المجموعة التي تحتوي على الرقم صفر في داخلها ليست فارغة، لأن الرقم صفر هو في الواقع عنصر واحد في تلك المجموعة. المجموعة الفارغة لا تحتوي على أي عناصر على الإطلاق. هذا فرق مهم للغاية يجب تذكره.

في المخططات، يمكننا الإشارة إلى المجموعة الفارغة - كدائرة لا يوجد شيء بداخلها. على سبيل المثال، إذا كانت المجموعة الشاملة هي جميع الطلاب في مدرسة ما، وقمنا بإنشاء مجموعة من الطلاب الذين يمكنهم الطيران مثل الطيور، فإن هذه المجموعة ستكون فارغة. في مخطط فين، سيظهر على شكل دائرة، لكن الدائرة لا تحتوي على أسماء بداخلها لأنه لا يوجد طالب لديه هذه القدرة.