الأرقام - الجلسة 5

هل سبق لك أن قمت بإعداد قائمة بأشيائك المفضلة، مثل الفواكه أو الألعاب المفضلة لديك؟. في الرياضيات، نسمي هذه القائمة set. set هي ببساطة مجموعة من الأشياء التي نضعها معًا. تُسمى هذه الأشياء elements of the set. على سبيل المثال، إذا قمنا بتحضير set من الفواكه، فيمكن أن تشمل تفاحة ومانجو وموزة. وهذا يعني أن التفاح والمانجو والموز هي elements من set الفاكهة هذه.

أحيانًا نريد أن نشير إلى ما إذا كان شيء ما موجودًا داخل set أم لا. بدلاً من كتابة جمل طويلة، نستخدم صيغاً مختصرة. إذا كان رقم ما موجودًا في set، نقول إنه ينتمي إلى set. إذا لم يكن موجودًا في set، نقول إنه لا ينتمي إلى set. هذا يجعل عملنا أسهل وأسرع في الفهم.

طريقة كتابة المجموعات تكون على هذا النحو. نستخدم الأقواس المعقوفة. تبدو الأقواس المعقوفة كأذرع صغيرة منحنية. داخل الأقواس المعقوفة، نكتب elements of the set، مفصولة بفواصل. على سبيل المثال، إذا أردنا تكوين set من الفواكه تحتوي على التفاح والمانجو والموز، فإننا نكتبها داخل أقواس معقوفة كما هو موضح. وهذا يوضح لنا بسرعة كبيرة ما هي الأشياء التي تنتمي إلى تلك set.

والآن تخيل أن لديك سلة مليئة بالألعاب. تريد أن تخبر صديقك ما هي الألعاب الموجودة داخل السلة. بدلاً من كتابة قصة طويلة، يمكنك ببساطة عمل قائمة قصيرة. تُسمى هذه الطريقة المختصرة في الكتابة بتدوين set. set هي ببساطة مجموعة من الأشياء، ورمز set هو الطريقة الخاصة التي نكتب بها تلك المجموعة.

على سبيل المثال، لنفترض أن سلتك تحتوي على سيارة وكرة ودمية. يمكننا القول أن المجموعة أ هي مجموعة السيارة والكرة والدمية. سنكتب السيارة والكرة والدمية، مفصولة بفواصل، داخل أقواس معقوفة. إذا كانت سلتك تحتوي على أرقام بدلاً من ذلك، مثل واحد واثنين وثلاثة، فسنقول إن المجموعة أ هي مجموعة الأرقام واحد واثنين وثلاثة. لذا، سنكتب واحد، واثنين، وثلاثة، مفصولة بفواصل، داخل الأقواس المعقوفة.

يمكننا أيضاً تكوين مجموعات باستخدام الأرقام. إذا أردنا تكوين set من أول ثلاثة أرقام للعد، فإننا نكتبها على النحو التالي: واحد، اثنان، ثلاثة داخل الأقواس المعقوفة. إذا أردنا تكوين set من الأعداد الزوجية الأقل من عشرة ممثلة بالرمز C، فإننا نكتبها على النحو التالي: اثنان، أربعة، ستة، وثمانية، مفصولة بفواصل، داخل الأقواس المعقوفة. انظر كم يبدو الأمر أنيقاً وسهلاً.

والآن دعونا نتحدث عن كيفية تفاعل set مع مجموعات أخرى. Venn diagram هو صورة تساعدنا على فهم المجموعات بشكل أفضل. بدلاً من كتابة المجموعات باستخدام الأقواس المعقوفة فقط، يمكننا أيضاً رسمها. في Venn diagram، نرسم عادةً دوائر. تمثل كل دائرة set واحدة، والأشياء الموجودة داخل تلك set مكتوبة داخل الدائرة. إذا كان لمجموعتين بعض الأشياء المشتركة، فإن الدوائر تتداخل، ونكتب الأشياء المشتركة في الجزء المتداخل.

لنجرب مثالاً. لنفترض أن إحدى set هي set الفواكه التي تشمل التفاح والمانجو والموز. وهناك set أخرى تشمل set مثل الموز والبرتقال والمانجو. إذا رسمنا هذا على شكل Venn diagram، فسنحصل على دائرتين. الدائرة الأولى تحتوي على التفاح والمانجو والموز. الدائرة الثانية تحتوي على الموز والبرتقال والمانجو. الآن، المانجو والموز موجودان في كلتا المجموعتين، لذلك يجب وضعهما في المنتصف حيث تتداخل الدائرتان. تبقى التفاحة في الدائرة الأولى فقط، ويبقى البرتقال في الدائرة الثانية فقط. من خلال النظر إلى الصورة، يمكننا أن نرى بوضوح ما ينتمي إلى كل set وما يشتركون فيه.

والآن دعونا نجرب هذا مع مجموعات الأعداد الطبيعية والأعداد الأولية. لنفترض أن المجموعة أ تتكون من الأعداد الطبيعية حتى عشرة. المجموعة ب تتكون من الأعداد الأولية التي تسبق 15. إذا قمت برسم مخطط فين لهاتين المجموعتين، فسترى أن 1 و3 و5 و7 هي أرقام مشتركة في كلتا المجموعتين. لذا، سيتم كتابتها في الجزء المتداخل من كلا الدائرتين. ستجد الأرقام الأخرى في أقسامها الفردية الخاصة بها.

يمكنك أيضًا تمثيل المضاعفات المشتركة لعددين في شكل مخططات فين. لنفترض أن مضاعفات العدد اثنين هي اثنان، وأربعة، وستة، وثمانية، وعشرة. لنسمي هذه set بالمجموعة أ. والآن لنفترض أن مضاعفات العدد ثلاثة هي ثلاثة وستة وتسعة. يمكننا أن نسمي هذه set بالمجموعة ب.

والآن، قم بتمثيل المجموعتين A و B في Venn diagram. بعد ذلك، دعونا نكتشف ما إذا كان هناك أي مضاعف مشترك في المجموعتين. العدد ستة هو المضاعف المشترك في المجموعتين. سنكتب الرقم ستة في الجزء المتداخل من كلا مخططي فين. الأرقام المتبقية مكتوبة في مخططات فين الخاصة بها.

يمكن أن تمثل مخططات فين أيضًا ثلاث مجموعات. على سبيل المثال، يمكن تمثيل set واحدة بالحرف A الذي يتضمن أرقامًا مثل اثنين وأربعة وستة. وهناك set أخرى ممثلة بالحرف B تتضمن أرقامًا مثل أربعة وستة وثمانية. أما set الثالثة فيتم تمثيلها بالحرف C والتي تتضمن أرقامًا مثل ستة وعشرة.

إذا رسمنا ثلاث دوائر متداخلة، فيجب وضع الرقم ستة في المنتصف حيث تلتقي الدوائر الثلاث، لأنه موجود في جميع المجموعات. يجب وضع الرقم أربعة في منطقة التداخل بين الدائرتين الأوليين، لأنه مشترك بينهما. سيتم وضع الأرقام اثنين وثمانية وعشرة في أماكنها الخاصة. وبهذه الطريقة، يمنحنا Venn diagram صورة واضحة لكيفية ترابط المجموعات.

كل set تحتوي على أشياء بداخلها. تُسمى هذه الأشياء elements. عدد elements في set ما يعني ببساطة عدد الأشياء الموجودة في تلك set. نعدّها بنفس الطريقة التي نعدّ بها الأشياء من حولنا. على سبيل المثال، إذا قمنا بتكوين set من الفواكه تحتوي على التفاح والمانجو والموز، فإن عدد elements هو ثلاثة لأن هناك ثلاث فواكه في المجموعة. إذا قمنا بتكوين set من الأرقام تتكون من اثنين، وأربعة، وستة، وثمانية، وعشرة، فإن عدد elements هو خمسة لأن هناك خمسة أرقام في المجموعة.

والآن، كيف نمثل هذا في الرياضيات؟. نستخدم الحرف "ن" قبل اسم setلذلك، نكتب n(A) = 3للإشارة إلى أن المجموعة أ تحتوي على ثلاثة elements. نكتب n(B) = 5للإشارة إلى أن المجموعة ب تحتوي على خمسة elements.