الأرقام - الجلسة الثانية

لنفترض أن هناك مصباحين كهربائيين. تومض إحداهما كل أربع ثوانٍ، بينما تومض الأخرى كل ست ثوانٍ. هل يمكنك تحديد عدد المرات التي سيرمشون فيها معًا في نفس الوقت خلال دقيقة واحدة؟. حسنًا، للإجابة على هذا السؤال، عليك أولاً أن تفهم مفهوم المضاعفات المشتركة. لنبدأ بفهم ما هو المضاعف. المضاعف هو ما تحصل عليه عند ضرب عدد في واحد، أو اثنين، أو ثلاثة، وهكذا. على سبيل المثال، مضاعفات العدد ثلاثة هي ثلاثة، ستة، تسعة، اثنا عشر، خمسة عشر، وهكذا دواليك. إذا أخذنا رقمًا آخر مثل أربعة، فإن مضاعفاته هي أربعة، ثمانية، اثنا عشر، ستة عشر، عشرين، وهكذا. هذه الجداول تشبه جداول الضرب التي تتعلمها في المدرسة.

والآن دعونا نتحدث عن المضاعفات المشتركة. هذه أرقام تظهر في كلتا قائمتي المضاعفات. دعونا نلقي نظرة أخرى على الرقمين ثلاثة وأربعة. مضاعفات العدد ثلاثة هي: ثلاثة، ستة، تسعة، اثنا عشر، خمسة عشر، ثمانية عشر، واحد وعشرون. مضاعفات العدد أربعة هي أربعة، ثمانية، اثنا عشر، ستة عشر، عشرون. يمكنك أن ترى أن العدد 12 موجود في كلتا القائمتين، لذا فإن العدد 12 هو مضاعف مشترك للعددين 3 و 4.

لنجرب زوجًا آخر من الأرقام. إذا أخذنا خمسة وستة، فإن مضاعفات العدد خمسة هي خمسة، عشرة، خمسة عشر، عشرين، خمسة وعشرين، ثلاثين، خمسة وثلاثين. مضاعفات العدد ستة هي ستة، اثنا عشر، ثمانية عشر، أربعة وعشرون، ثلاثون، ستة وثلاثون. يمكنك أن ترى أن الرقم ثلاثين يظهر في كلتا القائمتين. إذن، ثلاثون هو مضاعف مشترك للعددين خمسة وستة.

بعض الأعداد لها مضاعفات مشتركة كثيرة. على سبيل المثال، خذ اثنين وأربعة. مضاعفات العدد اثنين هي اثنان، أربعة، ستة، ثمانية، عشرة، اثنا عشر، أربعة عشر، ستة عشر وهكذا. مضاعفات العدد أربعة هي أربعة، ثمانية، اثنا عشر، ستة عشر، عشرون، وهكذا. إذن، أربعة، ثمانية، اثنا عشر، ستة عشر، عشرون، وأكثر هي مضاعفات شائعة. تظهر هذه العناصر في كلتا القائمتين، لذلك نطلق عليها اسم العناصر الشائعة.

لا تحتاج إلى كتابة قائمة طويلة لإيجاد المضاعف المشترك. على سبيل المثال، جرب الرقمين ستة وثمانية. مضاعفات العدد ستة هي ستة، اثنا عشر، ثمانية عشر، أربعة وعشرون. مضاعفات العدد ثمانية هي ثمانية، وستة عشر، وأربعة وعشرون. يمكنك التوقف عند الرقم 24 لأنه يظهر في كلتا القائمتين. إذن، العدد 24 هو مضاعف مشترك للعددين 6 و 8.

دعونا نتحدث عن LCM، وهو اختصار لـ "المضاعف المشترك الأصغر". وهذا يعني أصغر عدد مشترك بين عددين عند سرد مضاعفاتهما. على سبيل المثال، إذا أخذنا أربعة وخمسة، فإن مضاعفات العدد أربعة هي أربعة، ثمانية، اثنا عشر، ستة عشر، عشرين، وهكذا. مضاعفات العدد خمسة هي خمسة، عشرة، خمسة عشر، عشرون، خمسة وعشرون. الرقم الأول الذي يظهر في كلتا القائمتين هو عشرون، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر للعددين أربعة وخمسة هو عشرون.

وهذه واحدة أخرى. جرب الرقمين أربعة وستة. مضاعفات العدد أربعة هي أربعة، ثمانية، اثنا عشر، ستة عشر، عشرون. مضاعفات العدد ستة هي ستة، اثنا عشر، ثمانية عشر، أربعة وعشرون. ما هو الرقم الذي يأتي أولاً في كلتا القائمتين؟. هذا صحيح، إنها الثانية عشرة. إذن، LCMناتج جمع أربعة وستة هو اثنا عشر. ال LCMيُعدّ ذلك مفيدًا عندما تريد أن تتطابق الأشياء أو تتم مزامنتها. على سبيل المثال، إذا دق طبل واحد كل أربع ثوانٍ ودق طبل آخر كل ست ثوانٍ، فسوف يدقان معًا بعد اثنتي عشرة ثانية. إن الاثنتي عشرة ثانية هي أصغر مضاعف مشترك لهما.

المضاعفات المشتركة ليست مخصصة للمدرسة فقط. إنها مفيدة في الحياة الواقعية أيضاً. تخيل ضوءين يومضان. تومض إحداهما كل أربع ثوانٍ، والأخرى كل ست ثوانٍ. لمعرفة متى سيرمشون معًا، عليك إيجاد المضاعف المشترك للعددين أربعة وستة. أصغر مضاعف مشترك لهما هو 12، لذا فإنهما يرمشان في نفس الوقت كل 12 ثانية. هذا يوضح كيف يمكن للرياضيات البسيطة أن تحل مشاكل حقيقية. هل يمكنك تحديد عدد المرات التي ستومض فيها هذه الأضواء معًا في دقيقة واحدة؟.

دعونا الآن نفهم الأعداد النسبية. العدد النسبي هو أي عدد يمكنك كتابته على شكل كسر. وهذا يعني أنه يمكن كتابتها على شكل عدد مقسوم على عدد آخر، مثل ثلاثة على أربعة أو خمسة على واحد. الأعداد الصحيحة مثل اثنين أو سبعة هي أعداد نسبية أيضاً لأنه يمكنك كتابتها على شكل اثنين على واحد أو سبعة على واحد. يمكن أن تكون الأعداد النسبية أيضًا أعدادًا عشرية تتوقف أو تتكرر، مثل صفر فاصلة خمسة أو صفر فاصلة ثلاثة ثلاثة ثلاثة.

فيما يلي بعض الأمثلة على الأعداد النسبية. النصف عدد نسبي لأنه كسر. العدد أربعة عدد نسبي لأنه يساوي أربعة مقسومة على واحد. 075 عدد نسبي لأنه يساوي ثلاثة على أربعة. الأعداد العشرية الدورية مثل صفر فاصلة ستة ستة ستة هي أعداد نسبية أيضاً لأنها تتبع نمطاً معيناً.

قد تتفاجأ عندما تعلم أن الأعداد الصحيحة هي أيضاً أعداد نسبية. ذلك لأنه يمكنك كتابة الرقم أربعة على أنه أربعة مقسومة على واحد. يمكنك كتابة الرقم صفر على أنه صفر مقسوم على واحد. يمكن كتابة الأعداد الكبيرة أيضاً، مثل المئة، على شكل كسر. طالما أن الرقم السفلي ليس صفرًا، فإن الرقم يكون نسبيًا.

والآن دعونا نتحدث عن الأعداد العشرية. بعض الأعداد العشرية هي أعداد نسبية أيضاً. إذا توقف العدد العشري، مثل صفر فاصلة خمسة أو صفر فاصلة اثنين خمسة، فإنه يكون عددًا نسبيًا. تُسمى هذه الأعداد العشرية بالأعداد العشرية المنتهية لأنها تنتهي. يمكنك أيضًا كتابة هذه على شكل كسور، لذا فهي نسبية أيضًا.

بعض الأرقام العشرية لا تتوقف، بل تستمر في تكرار النمط نفسه. هذه أيضاً أعداد نسبية. على سبيل المثال، العدد صفر فاصلة ثلاثة ثلاثة ثلاثة، مع استمرار الثلاثة إلى ما لا نهاية، هو عدد نسبي. عندما يكون الجزء المتكرر أطول أيضًا، مثل صفر فاصلة واحد أربعة اثنين ثمانية واحد أربعة اثنين ثمانية، فإنه يكون منطقيًا أيضًا طالما أنه يتبع نمطًا. يمكن تحويل جميع الأعداد العشرية الدورية إلى كسور.

هناك طريقة أخرى للتحقق مما إذا كان العدد نسبيًا وهي أن تسأل نفسك هذا السؤال: هل يمكنني كتابته على شكل كسر يكون فيه كل من البسط والمقام أعدادًا صحيحة؟. إذا كان الجواب نعم، فهو عدد نسبي. لا يمكن أن يكون الرقم السفلي صفرًا لأن القسمة على صفر غير مسموح بها في الرياضيات. لذا، فإن قسمة ستة على أربعة أمر مقبول، لكن قسمة ستة على صفر أمر غير مقبول. تذكر أن العدد النسبي يجب أن يتبع قاعدة كونه نسبة بين عددين صحيحين.

باختصار، الأعداد النسبية هي جميع الأعداد التي يمكن كتابتها بشكل أنيق على هيئة كسر. وتشمل هذه الأرقام الأعداد الموجبة، والأعداد السالبة، والأعداد الصحيحة، والأعداد العشرية التي تتوقف أو تتكرر. الأعداد النسبية شائعة جداً ويسهل التعامل معها في الرياضيات. ستراها في كل جزء تقريبًا من واجباتك المدرسية. بمجرد أن تعرف كيفية اكتشافها، يصبح فهمها سهلاً.